1、11. 均值不等式法例 1 设 求证.)1(32nSn .2)1(2)1(nSn例 2 已知函数 ，若 ，且 在0，1上的最小值为 ，求证：bxaxf1)(54f(xf.2)1( nf例 3 求证 .),1(32 NnCCnn 例 4 已知 ， ，求证： 1.11a 22xx nxaxa212利用有用结论例 5 求证 .)1()53)( n例 6 已知函数 .2,10,(21lg nNaxfxxx 给 定求证： 对任意 且 恒成立。)0()(f Nn2例 7 已知 1121, .naa用数学归纳法证明 ；)(I()n对 对 都成立，证明 （无理数 ）l)x02ne.7182例 8 已知不等式
2、。 表示不超过 的最大整数。设正数数列21log,23N lognn2log满足： 求证na .,),(11 anb .3,l22ban再如：设函数 。xfe（）求函数 最小值；（）求证：对于任意 ，有() N1().nke例 9 设 ，求证：数列 单调递增且nna1na.4na3. 部分放缩例 10 设 ,求证：an21123an .2na例 11 设数列 满足 ，当 时证明对所有 有：Nn21 31,1n； .)(in 2)(21naai4 . 添减项放缩2例 12 设 ，求证 .Nn,1)2(18)32(nn例 13 设数列 满足 证明 对一切正整数 成立；na .,211 aann 1
3、2nan n5 利用单调性放缩: 构造函数例 14 已知函数 的最大值不大于 ，又当 时23)(xaxf6121,4x.81)(xf（）求 的值；（）设 ，证明Nnafan),(,2011 .1na例 15 数列 由下列条件确定： ， nx1x,1nnxx（I） 证明：对 总有 ；(II) 证明：对 总有2an 21nx6 . 换元放缩例 16 求证 ).2,(11nNn例 17 设 ， ，求证 .a,241(2a7 转化为加强命题放缩例 18 设 ，定义 ，求证：对一切正整数 有10aaan1,1 n.1a例 19 数列 满足 证明nx.,2211xn .01例 20 已知数列a n满足：a
4、 1 ，且 an3n12nN （ ， ） （1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对一切正整数 n 有 a1a2an2n！ 8. 分项讨论例 21 已知数列 的前 项和 满足nanS.1,)(2nann（）写出数列 的前 3 项 ； （）求数列 的通项公式；n 321, na（）证明：对任意的整数 ，有 .4m875ma9. 借助数学归纳法3例 22（）设函数 ，求 的最小值；)10( )1log)(log)(22 xxxf )(xf（）设正数 满足 ，求证：npp31, 23np n2322 loglll 10. 构造辅助函数法例 23 已知 = ,数列 满足()fxln43xna*1 2
5、 ,0Nnafan（1）求 在 上的最大值和最小值; （2）证明： ;f01，n（3）判断 与 的大小，并说明理由.na1()N例 24 已知数列 的首项 ， ， 3512nna12， ，（）求 的通项公式； （）证明：对任意的 ， ， ；na 0x21()3nnxx 12， ，（）证明： 2121na例 25 已知函数 f(x)=x2-1(x0)，设曲线 y=f(x)在点（x n,f(xn)）处的切线与 x 轴的交点为（x n+1,0）(nN *).() 用 xn表示 xn+1； （）求使不等式 对一切正整数 n 都成立的充要条件，并说明理由；1（）若 x1=2，求证： .31221 nxx
6、例 1 解析 此数列的通项为 ，.,21,)(nkak 21)1(kk，即)21(1nknkS .2)(Snn注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成ba则得 ，就放过“度”了！)(k 2)1(3)1(1 kSn根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里，其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。nanaaann221111 3,n例 2 简析 4() (0)2xxxf 1(1()2ff4211()()2n 11.4n例 3 简析 不等式左边 =23nnnCC 1212n= ，故原结论成立.n121 21例 4 【解析】使用均值不等式即可：因为 ，所以
7、有2(,)xyR22112 nn aaxax 21. 其实，上述证明完全可以改述成求 的最大值。本题还可以推广为：nxaxa21若 ， ， 试求 的最大值。221np 2(,0)qp nxaxa21请分析下述求法：因为 ，所以有(,)yxR22112 nn 222211.nnaxpq 故 的最大值为 ，且此时有 。nxax21(1,2)kaxn上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“”的条件是 ，即必须有(,)k，即只有 p=q 时才成立！那么， 呢？其实例 6 的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：21nkkapq2 22221, 1,()()()()n nppxx 则有1212
8、 nnaaaxqpq22 21 12()()( )(n npq pqp 于是， ，当且仅当12max()naxpq 1,).kaxp结合其结构特征，还可构造向量求解：设 ，则1212(,),(,nn 由 立刻得解： |mn 22212 1| | .naxaxxpq 且取“”的充要条件是： 。12nxa52利用有用结论例 5 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法 1 利用假分数的一个性质 可得)0,(maba25634n n2167453 )12(6543n 12)5634(n即 .)()1()1( 法 2 利用贝努利不等式 的一个特例)0,1,2(xNxn(此处)得 ，12)1(2kk 1,
9、2k )12(kkn.nnk例 6 简析 高考标准用数学归纳法证明， ；这里给出运用柯西（ ）不等式 的简捷证Cauchyniinii bab1221)(法： )(2xff nxxx22)1(31lg nxx)(31lg)(31 xxa 1 222xxxa而由 不等式得Cauchy )(2an( 时取等号)(22 )1(31 22xxx 0（ ） ，得证！)( 2xann 10例 7 解析 结合第 问结论及所给题设条件 （ ）的结构特征，可得放缩思路：I(Il。nnaa)21(1 12l()lnn ann21l2于是 ，nll即.2121)(ln)21()l( 111 nniiini aa.2
10、lenn【注】：题目所给条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还l()x0可用结论 来放缩：21n )1()(11nanan 1()(1nnaa1l()l()l().)nna6，1)ln()1l()(1)ln()1l( 2212 naianniiini即 .3ean例 8 【简析】 当 时 ，即 2aannn111 an1于是当 时有.)1(22kaknk 3log21n .log22b注：本题涉及的和式 为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论n3来进行有效地放缩；log21321n再如：【解析】 （）1；（）证明：由（）得 ，对 x1 有
11、 ，利用此结论进行巧妙赋值：xe()nxe取 ，则有,kx 1210()12 1()()()()nnnn eeee 即对于任意 ，有N1().nk例 9 解析 引入一个结论：若 则 ， （可通过构造一个等比数列求和放缩来证0ab)(11abnan明，略）整理上式得 （ ） ，以 代入（ ）式得.)(1nann,1)(n。即 单调递增。以 代入（ ）式得 。此式对.)1(nn nba21, .4)21)21(n一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。4)(na(注：上述不等式可加强为 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩：.3)1(2n只取前两项有
12、对通项作如下放缩：.11)( 2nnnnn CCa .21nCan故有!1! 1 kk kC .32/1)(21n3. 部分放缩例 10 解析 an2 .13232nna又 （只将其中一个 变成 ，进行部分放缩） ， ，),1(2kkkkk1)(127于是 )1()312()13122 nnan .2例 11 【解析】 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，)(ikka则当 时 ，成立。k 32)()()(1 kaakk利用上述部分放缩的结论 来放缩通项，可得)(i 121)21kka 114kkkk1kk1()2.4nnniiia【注】上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质
13、也可以整体放缩： ；)( 31)2)(1 kkak证明 就直接使用了部分放缩的结论 。i 121kka例 12 简析 观察 的结构，注意到 ，展开得n)32( nn)()3123(1)nnnnC ()(1)261288n即 ，得证.8)(2例 13简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有法 1 用数学归纳法（只考虑第二步） ；1)(21212 kkaakk法 2 221nna .,1 nk则 2)1(221 nann 12an例 14 解析 （） =1 ；（）由 得 且a),(1nnaf 61)3(321 n .0na用数学归纳法（只看第二步）： 在 是增函数，则得1kkf
14、),0(k.2)(23)()1 kfafk例 15 解析 构造函数 易知 在 是增函数。当 时 在,1xaff),a1knkkxax2递增，故 。对(II)有 ，构造函数),a.)(1fxk 1nxnxa2,)(f8它在 上是增函数，故有 ，得证。),a1nxnxa20)(f【注】数列 单调递减有下界因而有极限：nx .(a 是递推数列 的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。f21)( nnxx21例 16 简析 令 ，这里 则有nha),1(0，从而有2)()1( nhnnn .121nhann注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
15、例 17 简析 令 ，则 ， ，应用二项式定理进行部分放缩有ba0ba1，222 )()1( bbCCnnnnnn 注意到 ，则 （证明从略） ，因此 .N,24)(41a7 转化为加强命题放缩例 18 解析 用数学归纳法推 时的结论 ，仅用归纳假设 及递推式1kn1nak是难以证出的，因为 出现在分母上！可以逆向考虑：akk1k .11aakk故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数 有 （证略）n.1an例 19 简析 将问题一般化：先证明其加强命题 用数学归纳法，只考虑第二步：.2xn。因此对一切 有 .41)2(121 kkkxk Nx.2n例 20 解析：（1）将条件变为：1 ，
16、因此1 为一个等比数列，其首项为 1 ，公nan3（ ） naa3比 ，从而 1 ，据此得 an （n1）13na3（2）证：据 1得，a 1a2an ，为证 a1a2an2n！，2n3！（ ） （ ） （ ）只要证 nN时有 2 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式：2n13（ ） （ ） （ ） 1对每个 nN，有 1（ ）32n13（ ） （ ） （ ） 2n13 （用数学归纳法，证略）利用 3得 1（ ）2n1（ ） （ ） （ ） 2n13 91 1 。故 2式成立，从而结论成立。n3 （ ） nn112323 （ ） （ ）8. 分项讨论例 21 简析 （）略， （）
17、；（）由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨.)1(32nnna n)1(论：当 且 为奇数时3n（减项放缩） ，122)12(113 nnnna )21(3231nn于是, 当 且 为偶数时，4mmaa54 )()(1654 maa .87321123)121(324 m当 且 为奇数时， （添项放缩）aa54 154ma由知 。由得证。.871154ma9. 借助数学归纳法例 22 解析 科学背景：直接与凸函数有关！（）略，只证（）：考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有：法 1（用数学归纳法）（i）当 n=1 时，由（）知命题成立。 （ii）假定当
18、时命题成立，即若正数kn，1, 22121 kk ppp 满 足则 .loglogl 2pkk当 时，若正数 （*）n ,1,1 221 kk p 满 足为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段：令 ., 221221 xqxpqppx kkk则 为正数，且kq, 1221k由归纳假定知 .loglogl221 kkkkkkk qqqxppp 22212221 logl(ogl （1）,l)(og2xkx同理，由 得kkk 21210（2）11221212 loglog kkkk pp ).1(log)()(2xkx综合（1） （2）两式 12ll kkp ).()(l)()( 22xx即
19、当 时命题也成立. 根据（i） 、 （ii）可知对一切正整数 n 命题成立.kn法 2 构造函数 那 么常 数 ),0(,)(log)(log)(22 cxcxcl1 2xcxg利用（）知，当 .)(,)(2取 得 最 小 值函 数时即 xgc对任意 都 有,0,21x 2log2lolg12121 xx 1)()log(2121x（式是比式更强的结果）. 下面用数学归纳法证明结论.（i）当 n=1 时，由（I）知命题成立.（ii）设当 n=k 时命题成立，即若正数 有满 足 , 22121 kk ppp11111 22222212122121 logloglogl ., .lllog kkk
20、kkkk ppppHkn 令 满 足时当对（*）式的连续两项进行两两结合变成 项后使用归纳假设，并充分利用式有k,1)()( ,)()l(l1 11112221 2222 kk kkkkpp 因 为由归纳法假设 ,)(log)(log 1111 222 ppkkkk 得 .)(1221kHkk即当 时命题也成立. 所以对一切正整数 n 命题成立.n【评注】 （1）式也可以直接使用函数 下凸用（）中结论得到；xg2lo)(（2）为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合： 而变成 项；iiinpq12k（3）本题用凸函数知识分析如下： 先介绍詹森（jensen）不等式：若 为 上的下凸函数，则()fx,ba对任意 ，有 ),1(0,1nii nbax ).(1n xfxff特别地，若 ，则有i )(11 nnf 若为上凸函数则改“ ”为“ ”。由 为下凸函数 得 ，又 ，)(xg )2(2)(121 nn nn pgpgp 12321npp
