1、高等数学 I（1）试题选编1求函数的极限（1） 5243)76(4limxx； （2） xxsincolim；（3） xsintal0； （4） x3t5l；（5）xx1)(l； （6） xox21i。2求数列的极限：（1）nn2lim； （2）1lim3nn；（3） )(linbane，其中 a,为正的常数。3研究并确定xxrct1sil。4求 ba,之值使 2)15(m2b5设 xfln)(，确定 a,之值，使得当 ax时 )(xf为无穷小；当 bx时 )(f为无穷大。6设 f在 ,内有定义，且单调增加，)(lim,00fb又存在，求证 在 0x处连续。7确定 )1(2cos)xf的间断点
2、，并判定其类型。8求 )1ln()(2xf12x且的间断点，并指出各间断点的类型。9求 23)(1xef的间断点，并判定其类型。10求farctn的间断点，并判定其类型。11设 xsi)(，确定 )(f的连续区间，并指出间断点的类型。12写出 nnf12lim分段函数的表达式。13设有 次多项式kxaf0)(，若此多项式的第一个系数 0a与最后一个系数 na异号，求证方程0)(xf至少有一个正根。14，若 在 ),a上连续，且 )(limxfx存在，求证 )(xf在 ),a上有界。15求证 01)(xf0x在 处连续但不可导。16常数 ba,取何值时 baxf21)(1 在 x处连续且可导？1
3、7设)ln(222xy，求 dy。18设rccosit，求 xy。19设 232)(,xuyx，求 du。20设 31)(，求 xy。21设 xxy2，求 d。22设 )(是由方程 yxyarctn所确定，求 dxy。23，求由 ty452所确定的函数 )(的导数 。24设 )(3tftx，其中 tf存在且 0tf，求 dxy及 2。25设 kttkycosin，其中 0为常数，求 t及 2。26设 )(x是由方程组 1i32ytexy所确定，求 0tdxy之值。27设0lny，求 nd。28设xxcs1，求 y。29设xy23，求 d。30设 )(tf可微， 0)(tf，若 )(sintfy
4、extf，试求 )(tA，使 dxty)(。31求曲线 6324yx在点 )1,(M处的切线和法线方程。32求方程 tt)cos(所表示的曲线在 0x处的切线方程与法线方程。33设 fy在 ,ba二阶可导， )(bfaf，且曲线 )(xfy与抛物线 )(xbay在),(ba内有一个交点，求证在 ),(内至少存在一点 ，使 2f。34设 x在 1,0连续，在 10内可导，且 1,有 0。求证存在 1,0c使)()cfcfn（ n为自然数） 。35设 ,0xba在 ,a上可导，试证明 ),(ba使 abfafln)(。36设 )(fy在 1上二阶可导， 11)0(ff。求证在 ,0存在一点 c，使
5、2)(cf。37设 在闭区间 ,0上二阶可导，且 )(min,0)(1xf，求证 8)(mx10f。38求极限。（1） 20limxex； （2） 20cotlixx；（3） x； （4）)1(e；（5）)1arctn2(li20xx； （6）xxcos0inlm；（7） xsi)otlim； （8）xkxln1)(il（其中 为不等于零的常数） 。39确定2y的单调区间。40设可微函数 )(x由方程 043y所确定，试求此函数的单调区间。41已知 baf23)(在 1处有极值 2，试确定系数 ba,，并求出 )(xf所有极值与曲线 xy的拐点。42求证方程 015只有一个正根。43求函数xx
6、fln2)(在 1,4上的最大值与最小值。44外切于半径为 1 的定圆的等腰三角形，在什么条件下它的面积最小?45欲做一个横截面为等腰梯形的水槽，且梯形的腰长及下底长均为 b。问水槽的两侧壁间的夹角为何值时，此水槽有最大的横截面积？46证明不等式：(1)设 201x,求证 12tanx.；(2)设 ,p,求证)(1pp。47求曲线)0(cos(itayx对应于 2t的曲率及曲率半径。48求函数xey的连续区间，可导区间，单调区间，凹凸区间，极值点，拐点和渐近线。49求下列不定积分：（1）dx2）（2） 234xd（3）dx32（4） e （5） )( （6） ln1（7） x2cosin（8）
7、 xd52cosin（9）dxta（10） d3ta（11）25t（12） 231（13）x232)(（14）dx)1(arcn（15）48xd（16）250求下列不定积分：（1） cos2（2） xd2cos（3） dxe2（4）dxx2)1ln(（5） ln （6）x（7）)arcsi(（8） xd3cs51设xxf o2tan)si2tn，求 )(f。52求下列定积分：（1） nanxd2021，其中 为正的常数， 为自然数；（2） 6e； （3） 022sincoxd； （4） 10xd；（5） dx241； （6）ex1。53求极限)(limnnn 。54研究反常积分 ex1l的敛散
8、性。55设 dInm02)0,(n，证明 21mInI。56设 xdtxf02cos5s1)(0xx，研究 )(lim0xf。57求极限 a021)ln(lim。58设 cxdtfF2)(0x，其中 )(tf为连续函数，且 0)(f，若 )(xF在 0处连续，求 之值。59设 )(xf处处连续且满足方程xxdtf 2cos1sin21)(0 ，求 4ff及。60求ty02)13在 ,上的最小值和最大值。61已知周期为 l的函数 (xf在l上为连续的奇函数。求证 dtfxa)(也是以 l为周期的周期函数。62设dtgtxfx02)1)(，其中 )(tg处处连续， 2)(,5)1(0tg，求 )1
9、(f及 。63设 f为任意的二次多项式，试证14610 fffdxf ，利用上述结果证明：对任意闭区间 ,ba，恒有)(2()( baabdxfba。64证明 6120nx。 （ 2）65设 )(f在 ,上连续且单调减少，证明 )1,0(a有 10)()(dxfaxfa。66求下列曲线所围成的平面图形的面积：（1）3,xy（2） y432和（3）,0cos,sinx（4）exx,10,ln67求过点 )0(与 21且对称轴平行于 y轴，开口向下的抛物线，使它与 轴所围成的平面图形面积最小。68抛物线 pxy2与圆 22)(a相交于 BAO,三点，问 p为何值时抛物线与公共弦AB所围成的平面图形
10、面积最大？并求此最大面积，其中 a为定值，且 a0。69已知曲边三角形由抛物线 xy及直线 1,0y所围成，求：（1）曲边三角形的面积 S； （2）该曲边三角形绕 x轴旋转所成旋转体的体积 V。70求由 )0(2pxy和它在),2(p处的法线所围成的平面图形绕 y轴旋转所成的旋转体的体积。71求由直线 与抛物线 0xy所包围的图形绕直线 p旋转所得的旋转体的体积。72已知一立体，以长半轴 1a，短半轴 5b的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求其体积。73一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线 1022xyxy和绕 轴的旋转面，容器的外高为 10，比重为 196，把它铅直地浮在水
11、中，再注入比重为 3 的重溶液。问要保持容器不沉没，注入的溶液其最大深度是多少？（长度单位为厘米）74求曲线 xdty2cos之全长。75一物体由静止开始做直线运动，在 t秒末的速度为 )/(32秒米t，问（1）在第三秒时物体离开出发点的距离是多少米？（2）需要多长时间走完 343 米？162求微分方程 0)3()2(2dyxdxy满足 1)(的特解。163求微分方程 满足 的特解。164求微分方程 221sinx的通解。165求微分方程 0)()1(dyyd满足 1)(的特解。166求微分方程sisi2xx满足 2)0(y的特解。167求 )(2的通解。168求 xeyx的通解。169求微分
12、方程 2)(lny满足初始条件 1)(y的特解。170求0432d的通解。171微分方程 y的哪一条积分曲线以原点为拐点，且在原点处以 xy2为其切线？172求微分方程24yx的通解。173求 132e的通解。174求tdttx2的通解。175求 xy3cossin 的一个特解。176已知 )(f可导， 0)1(f，试确定 )(2yf使2 22dyx是全微分方程，并求此全微分方程的通解。177设曲线积分 xffL)2在右半平面 )0(x内与路径无关，其中 )(xf可导，且1)(f，求 )(。178设 )(,)(321xyxy是一阶线性微分方程)(xqyPdx的三个相异特解。求证：23为一常数。
13、179设在左半平面内有一条过点 1,的曲线，其上任一点 ),(yx处的切线斜率为 21xy，求此曲线方程。180一单摆长为 l，质量为 m，作简谐振动，假定其往来摆动的偏角很小 )sin(即 。试求其运动方程，并确定每振动一次的时间。参考答案：1 （1） 32（2）2 （3） 29（4） 35（5） 31e（6）22 （1）1 （2）（3） ba30 4 0,5ba 5 1,07 为 第 一 类 可 去 间 断 点为 第 二 类 无 穷 间 断 点 ； 1xx 。8 为 第 一 类 跳 跃 间 断 点为 第 二 类 无 穷 间 断 点 ； 。9 为 第 一 类 跳 跃 间 断 点 。 10 为
14、 第 一 类 跳 跃 间 断 点x 11 )(f的连续区间为 ),0(),(， 为 第 一 类 跳 跃 间 断 点12101)(2xf11xx16 2,1ba17 2ay 18 y19 xydu2)(320)2(31)(xxd211)ln1( 222 xxx22yyln1223 y 24 )(,tfdyt250， 3)cos(1)kttk26 2e27 1)(l!)nkx28dxxdy)ct229ddy)23(l)2(30 )(cos)()(tfetAtf 31切线： 451x；法线： xy432切线： xy92；法线xy91238 （1）1 （2） 3 （3）0 （4） 21（5） （6）1
15、e（7）1 （8） ke39在,0(,(上 y单调增加；在),2),上 y单调减少。40在32,上 )x单调增加；在,3,(上 (x单调减少。41 )02)1;， 拐 点极 大 值 为 fba43(ln)4( mfM；44当外切三角形为等边三角形时面积最小。45 60 47aRK2,2148连续区间 )(， ；可导区间 ),0()(， ，单减区间 ),10(， ；单增区间 1,0；极小值点 x，极大值点 1x；上凹区间 ,， ，上凸区间 ,，拐点 ,(和)2e；渐近线 0y。49 （1） C)ln(2 （2）Cx21ln（3）x36（4） e（5）xx6ln29ln24（6）xxln12)ln
16、1(33（7）C)coscs(1（8）C75siisi（9） xosil （10）xcolnta2（11）C6ct1（12）2231)(1（13）Cxax22)ln(（14） Cx2)(arctn（15）)ln(85l31l4（16）3650 （1） xcossi)2( （2） oslt（3）Ce2（4） Cxx2221)1n(1）（5）Cxx)98ln34(l23（6） Cexx)1(2（7）arcsin)(12)arcsi(1（8）xxcotlnot(251Cf)52 （1） na23l（2）)4ln35(81e（3） 2（4）l5（5） （6）1e53 54发散 56不存在57 2ln
17、58 0c 592)4(;)(ff60 1283)(43)1( fmfM；62 5)1(,2)(ff66 （1） ln4 （2）16（3） ( （4） e67 6xy 682)4axasS69 （1）s（2） 4V7031527pV7134p7231073 cm74 4 75 （1） m27 （2）7 秒 162 32xy163 xy3164 21cosxy165 22)1(lny16632y167 21lcxxy168 21)(cxexy169 xetan 170)7os7sin23 x171 shy2 172 cxcxcyosin431173 31231xxxec174tte221)(175)cossin4(09y176 221)(yxyxf，通解为Cxy2ln177 3179 2)ln(1x180tlgctlcossin21， glT2
