1、1高等数学（B）复习例题解答第六章： 空间解析几何初步（1）向量平行和垂直的充要条件： 例 1 求 ， ，若 ，则 ；若 ，则 。3,21a6,4kb/abkabk【解】 ，故 ； ，故/236241026例 2 求与 及 都垂直的单位向量。,ij【解】设 与 都垂直，则xyzc,ab或 303xzy故与 及 都垂直的单位向量为ab022,13,9(3)zzc（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：例 1 已知两点 和 ，试求向量 的模、方向余弦及方向角。14,2M23,012M【解】由于 ，则230,12,221()又因为121,2M故方向余弦为1cos,cos,cos22方
2、向角为3,s,s3432例 2 已知向量 与 的夹角为 ，又 ，计算 。ab23,4ab(32)()ab【解】 (3)()42 2cos(,)34cos613例 3 设 ，又 ，则 （ ）0abc3,1ababcA. B. C. D.177【解】选 D. 注意到()()2()abcabcabc（3）求平面方程的方法： 例 1 已知平面 与平面 平行且相距 6 个单位，求 的方程。204570xyz例 2 一平面通过两点 和 ，且垂直于平面 ，求平面方程。1,M2,11xyz例 3 求过直线 且平行于直线 的平面方程。10:23xyzL2:63L例 4 已知平面 过点 和直线 ，求平面 的方程。
3、0(,1)1:0xyz例 5 求平行于平面 且与三个坐标面所围成的四面体的体积为 的平面:65xyz18的方程 提示：可用截距式或一般式方程来作（4）将直线的一般方程化为点向式或参数式的方法 例 1 将直线 的一般方程 化为对称式方程和参数式方程。L25031xyz（5）求空间直线的方法：例 1 已知直线 过点 且与平面 平行，又与直线0,2M:460xyz垂直，求直线 的方程。32:41xyzLL例 2 求直线 在平面 上的投影。7:350xz:380xyz3提示：求直线 在平面 上的投影，只需求出过直线 且与平面 垂直的平面 ，则两平面的交线就是所LL1求的投影直线（6）判断二次曲面的方法
4、：例 1 下列方程中所表示的曲面表示旋转抛物面的是（ ）（A） （B）221xyz24xyz（C） （D）224 2196例 2 设曲面方程 ，当 时，曲面可由 面上以曲线 绕 轴221xyzabcabxoz旋转而成，或由 面上以曲线 绕 轴旋转而成。o例 3 在空间中，方程 表示母线平行于 轴，以 坐标面上的抛物线 2ypxy为准线的柱面。第七章：多元函数微分学（1）求二元函数的定义域的方法:例 1 设 ，求其定义域26arcsin2l(1)xyz（2）求二重极限的方法:例 1 求下列二重极限：（1） ； （2） ； （3）210sinlmxy110lim()yxy24limxy例 2 证明
5、二重极限： 不存在420lixy（3）求偏导数的方法: 例 1 设 ，求4(,)fxy(0,)xf例 2 证明二元函数 在 的邻域内连续且有偏导数22,0(,)0,yxzf(,)4和xfy例 3 求下列函数的偏导数 和zxy（1） ； （2） ； （3）3zxyln()zxy(1)yzx例 4 设 ，求 和22()xye例 5 设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 (,)zfxyf 2zxy（4）求全微分的方法: 例 1 求下列函数的全微分（1） ； （2） ； （3）arctnyzx(1)yzx32ln()uxyz例 2 求函数 在点 处的全微分zu(1,)例 3 设 为某一函数 的全微分，则
6、常数（ 22(cos)sin)axydxbxyd(,)fxy）（A） ； （B） 1,b,2ab（C） （D）3a4提示：由 和 都连续，从而 ，可求出 之值xyfxyf,（5）求隐函数的偏导数的方法:例 1 设函数 是由方程： 确定的隐函数，求 和 。(,)zxysinzxyzxy例 2 设函数 是由方程： 确定的隐函数，验证,2i(3)43z1zxy例 3 设函数 ，其中 是由方程： 确定的二元函数，且()zfu(,)u()()xyuptd都是可微函数， 连续， ，求(),fu),pt()1zx5（6）讨论二元函数的极值与最值例 1 设函数 在 处取得极值，试求常数 ，并确定极值的22(,
7、)fxyaxy(1,)a类型。例 2 设 是由方程 所确定的函数，求(,)z22260180xyz的极值点和极值。(,)zxy例 3 求函数 在条件 （其中 ）下的极大值。32uzxyza,xyzR例 4 设某工厂生产 和 两种产品，产量分别为 和 （单位：千件） ，利润函数为AB2(,)4612L已知生产这两种产品时，每千件产品均消耗某种原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？【解】由题意，问题可转化为求利润函数 在条件：2(,)4612Lxyyx即 20120x下的条件极值，当 时，解方程组 ，得唯一驻点 ，此时，6xy68xyL(3
8、,2)（万元）2(3,)431当 时，作 Lagrange 函数6xy2(,)62(6)Fxyyxxy解方程组得 ， ，即得驻点 ，此时0816xyF3.8x.y(3.8,2)（万元）22(3.,).4.162.L显然， 存在最大值，故生产 产品 3 千件， 产品 2 千件时能使总利润最大，最大xyAB利润为 33 万元第八章： 二重积分（1）求二重积分的方法：6例 1 利用二重积分的几何意义，求下列二重积分的值（1） ，其中22DRxyd 22(,)DxyR（2） ，其中(4)4【解】例 2 计算下列二重积分（1） ，其中2Dyxd(,)01,Dxyy（2） ，其中 是曲线 和 在第一象限所
9、围成的区域2e2429x例 3 计算下列二重积分（1） ，其中2ln()Dxyd 2(,)1,0y（2） ，其中 ,4Dx（2）交换二重积分的积分顺序的方法例 4 交换下列二次积分的积分顺序（1） ； （2）20(,)ydfxd 2 212010(,)(,)x xdfydfyd第九章： 无穷级数（1）判断数项级数收敛的方法：例 1 判别下列级数是否收敛：（1） ； （2） （3）2(1)nn1ne2tan例 2 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1） ； （2） ； （3）1()np1()n1()l)n例 3 若级数 收敛，问 是否收敛？是绝对收敛还是条件收敛？21na
10、1na例 4 设级数 ， 都收敛，且 ，证明 也收敛。1nb1ncnnbc(1)1na7例 5 下列命题正确的是（A）若 收敛，则 也收敛；（B）若 收敛，则 也收敛；1nu1nu1nu21nu（C）若 收敛，则 ； （D）若 收敛且 ，则 未必收1nlim0n1nlimnv1nv敛。（2）判断数项级数发散的方法：例 1 判别下列级数是否收敛：（1） ； （2）1()2n1()!n（3）求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的方法：例 1 若幂级数 在 处收敛，则该级数在 处（ ）0nax32x（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）敛散性不能确定。例 2 若幂级数 在 处收敛，
11、试讨论该级数在 和 处的敛散性。0(1)nnx0x4例 3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域：（1） ； （2） ； （3）1()nn 12nnx1()2nn例 4 设幂级数 在 处条件收敛，则其收敛半径为 。0()nnax3R（4）求幂级数的和函数的方法： 例 1 求下列幂级数的和函数：（1） ； （2） ； （3）1nx01nx20(1)nnx（5）将函数展开幂级数的方法：例 1 将下列函数展开成 的幂级数（变量代换）x8（1） ； （2） （3）2xe21x44sincox例 2 将下列函数展开成麦克劳林级数（逐项求导、积分）（1） ； （2） ； （3）arctnx2()x1l
12、2x例 3 将 展开成 的幂级数。21()43f1第十章： 微分方程与差分方程（1）求解一阶可解微分方程的方法：例 1 求解下列微分方程：（1） ； （2） ； 10dyx(ln)dyxx（3） ； （4）23()4xy 2dxy例 2 设可导函数 满足 ，求()f 0()cos2()sin1xfft()fx例 3 已知某商品的需求 和供给 都是价格 的函数： ， ，DSp2()aDp()Spb其中 为常数；价格 是时间 的函数且满足方程： （ 为正常数） 。,0abpt dktk假设当 时价格为 ，试求：t1（1）需求量等于供给量时的均衡价格 ；（2）价格函数 ；（3）极限()ptlim()
13、tp【解】 （1）由 ，即 ，容易求出均衡价格 。()DpS2abp3ab（2）由题设，有或分离变量 得 2()dktp23pdkta9两端积分，整理得或 31ln()abpktC3ln()()abpktC当 时， ，得 ，则有0tp3Ce33()(1)bktte（3） 33lim()li()bktttaap该解的经济意义：随着时间的增加，供需关系会趋于平衡。3已知某产品在时刻 的价格、总需求和总供给分别为 、 和 。且满足条件：t tptDtS， ，21ttSp145ttDpttS求证：价格 满足差分方程： ；当 已知时，求上述方程的解。t 2tt0（2）求解可降阶的高阶微分方程的方法：例
14、2 求解下列微分方程：（1） ； （2） ； （3）cosyx0xy2y（4） 210,(),()y（3）求解二阶常系数线性方程的方法：例 1 求解下列微分方程：（1） ； （2） ； 32xye24yx（3） ；cos【解】（4）求解一阶常系数线性差分方程的方法：例 1 求下列差分方程的通解：（1） ； （2） （ ） ；3xxy13ttty01y例 2 已知某产品在时刻 的价格、总需求和总供给分别为 、 和 。且满足条件：t tptDtS10， ，21ttSp145ttDpttSD求证：价格 满足差分方程： ；当 已知时，求上述方程的解。t 2tt0【证】由 ，得 ，即 。tt 1tt12tt相应的齐次差分方程为 ，其特征方程为 ，特征根 ，则齐次差分20ttp2方程的通解为 ，其中， 为任意常数。由于 不是特征根，故可设原非齐次差()ttPAb分方程的特解为 ，易得 ，于是原非齐次差分方程的通解为*tB32()ttp又当 时，初始价格为 ，代入通解，可得 ，因此有特解0t0 023Ap()23tt
