1、1一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 123lim2x证: 由 24x取 则当 时,就有020x132x由函数极限 定义有: 123lim2x2、利用极限的四则运算性质若 Axf)(li0 Bxg)(li0(I) 0x 0fxBAxg)(lim0(II) f x)(li)(lim000(III)若 B0 则：BAxgfxf)(li)(li00（IV） （c 为常数）fcfxxli002上述性质对于 时 也 同 样 成 立xx,例：求 453lim2x解: =li2x 25423、约去零因式（此法适用于 ）型时 0,x例: 求 1267lim232xx解:原式= )0(
2、5li 2232 xx= )6)(1li22xx= =)65(103lim2x )3(25li2x= 2lix74、通分法（适用于 型）例: 求 )214(lim2xx解: 原式= )(li2x= )(lim2xx= 41li2x35、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数 f(x)、g(x) 满足：（I） 0)(lim0xf(II) (M 为正整数)Mg则： )(li0xfx例: 求 x1sinl解: 由 而 lim0x 1sinx故 原式 = 1sinl0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。（I）若： 则 )(limxf 0)(1limxf(II)
3、若: 且 f(x)0 则 0)(lif )(1lixf例: 求下列极限 51limx1lix解: 由 故 )( 05lim由 故 =01lix 1x7、等价无穷小代换法设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：,， 存在，, lim4则 也存在，且有 = limlimli例:求极限 20sinco1lxx解: ,si2 )(2x=20sinco1lmxx1)(2注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。1sinlm)(0xAexBx)1(lim)但我们经常使用的
4、是它们的变形： )(,)(1li)( 0,(si( xexB例：求下列函数极限xalim)1(0、 bxaxcoslni)2(0、)1ln( l)1( ,1 uaxauu于 是则） 令解 ： （ auuaauxauln)1l(im)1ln(i)1ln(imli0 000 故 有 ： 时 ，又 当5)1(coslnim)2(0bxax、 原 式 cs1cos)(li0xbxxlim0ax 222020 )()(sin)(silsinli abxbaxxx 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 。 )(lim)(li)( )(li)( 00000 afxfxfauf axi fff
5、 xx处 连 续 ， 则在 且是 复 合 函 数 ， 又若 处 连 续 ， 则在若例：求下列函数的极限（2） )1ln(5coslim)1(20xexx、 x)1ln(i06 1ln)1(limn)1l(i)1ln(im)l()l()2(601n5coslim)1ln(5cos)(000110 2 exxxxxfe xexfxxxxxx x故 有 ：令 、 由 有 ：故 由 函 数 的 连 续 性 定 义 的 定 义 域 之 内 。属 于 初 等 函 数解 ： 由 于10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：m、n、k、 l 为正整数。nklxmkl1i例：求下列函
6、数极限 、n xmnx(1li )N1)23(lixx解: 令 t= 则当 时 ,于是1t原式= nmtttttnmt )(li1li 121 由于 =)23(lixx 1)lix令： 则 t2t= =1)23(limxx 1)(lix210)(limtt= etttt )(li)(li21010711、 利用函数极限的存在性定理定理: 设在 的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有:0xAxhgx)(lim)(li00则极限 存在, 且有0fxfx)(li0例: 求 (a1,n0)xnalim解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使k xk+1于是当 n0 时有:knxna)1
7、(及 knkxn1又 当 x 时,k 有knka)(lim0)(li1aakn及 1liknlikn=0xnali12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限 存在且等于 A 的充分必要条件是左极限 及右极)(lim0xf )(lim0xfx限 都存在且都等于 A。即有：)(li0xfx8= =AAxf)(lim0 )(li0xfx)(lim0f例：设 = 求 及)(f1,22xe)(li0xf)(lim1f1)(lim)(li)(lim000 xxfexx x解 ：由 1f)(li0fx不 存 在由（又 )(lim)01lili 0)1
8、lim121 11xff xxxx13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若 Axgfxffi xgxuxggfixxx)(lim)(li()l)( 0)()(0)li,0)(l) 0000 ） ， 则或可 为 实 数 ， 也 可 为内 可 导 ， 且的 某 空 心 邻 域在与此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为 时不可求导。,02、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不9是未定式，应立
9、即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须)(limxgfax用另外方法。例： 求下列函数的极限 )1ln(2i0xex )0,(lnimxax解：令 f(x)= , g(x)= l21)()2, )(xexf 2(xg2“23“ )1(),)1(fx 由于 0(,0) gf但 2),0(“gf从而运用罗比塔法则两次后得到 12)1(2lim1)(lim)1ln(im3021020 xexexe xxx 由 故此例属于 型，由罗比塔法则有：axxli,li )0,(1limlinlim1 xaxaxax14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、 )(!2nx xoe102、 )()!12()!53sin 2nnxoxx 3、 )!(!421co 2nnx4、 1)ln( nnox5、 )(!)1()(!2)(1 nxo 6、 x nxo上述展开式中的符号 都有:)(no0)(lim0nxo例:求 )0(2li0axax解:利用泰勒公式，当 有)(21o于是 xaxlim0= xax )12(li0= xxoaoax )(2)(2lim0= axxxx 21)(1lim)(li 00
