1、高等数学常用概念及公式 极限的概念当 x 无限增大（x）或 x 无限的趋近于 x0（xx 0）时，函数 f(x)无限的趋近于常数 A，则称函数 f(x)当 x或 xx 0 时，以常数 A为极限，记作：f(x)=A 或 f(x)=Alimx li0x 导数的概念设函数 y=f(x)在点 x0 某邻域内有定义，对自变量的增量 xx- x0，函数有增量 y=f(x)-f(x 0)，如果增量比 当 x0 时有极限，y则称函数 f(x)在点 x0 可导，并把该极限值叫函数 y=f(x)在点 x0 的导数，记为 f(x0)，即f(x0) =lim0xyli0x0)(xf也可以记为 y=|x=x0， |x=
2、x0 或 |x=x0dxf 函数的微分概念设函数 y=f（x）在某区间内有定义，x 及 x+x 都在此区间内，如果函数的增量y=f（x+ x）-f(x) 可表示成 y=Ax+x其中 A 是常数或只是 x 的函数，而与 x 无关， 当 x0 时是无穷小量( 即 x 这一项是个比 x 更高阶的无穷小)，那么称函数 y=f（x）在点 x 可微，而 Ax 叫函数 y=f（x）在点 x 的微分。记作 dy，即：dy=Ax=f(x)dx 不定积分的概念原函数：设 f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数 F(x)，对于该区间上每一点都满足F(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx
3、则称函数 F(x)是已知函数 f(x)在该区间上的一个原函数。不定积分：设 F(x)是函数 f(x)的任意一个原函数，则所有原函数 F(x)+c（ c 为任意常数）叫做函数 f(x)的不定积分，记作dxf)(求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。其中“ ”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量；c 为任意实数，称为积分常数。 定积分的概念设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，用分点a=x0x1x2xi-1xixn-1xn=b，把区间a，b任意分成 n 个小区间x i-1，x i（i=1,2, ,n）每个小区间的长度为 x i= xi
4、- xi-1（i=1,2, ,n） ，在每个小区间x i-1，x i上任取一点 i，作和式In=iixf1)(当分点无限增加(n)且所有小区间长度中的最大值 =maxx i0 时，和式 In 的极限，叫做函数 f(x)在区间a ，b 上的定积分，记作 ，即badxf)(=bafniinxf1)0()(lm其中 f(x)称为被积函数，b 和 a 分别称为定积分的上限和下限，区间a，b叫积分区间， x 为积分变量。 极限的性质及运算法则无穷小的概念：若函数 f(x)当 xx 0(或 x)时的极限为零，则称f(x)当 xx 0(或 x )时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一
5、个很小的数混为一谈。无穷小的性质：性质 1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论 1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论 2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念：若当 xx 0(或 x)时，函数 f(x)的绝对值无限增大，则称函数 f(x)当 xx 0(或 x)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若 f(x)为无穷大，则 为无穷小；反之，若 f(x)为无穷小，且 f(x)0，则)(1xf就为无穷大。)(f
6、极限运算法则：法则 1：limf(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A+B法则 2：limf(x)g(x)= lim f(x)lim g(x)=AB特别的：lim cf(x)=c lim f(x)=cA (c 为常数 )法则 3：lim = = （其中 B0）)(xgf)(limf注意用法则 3 求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限：重要极限 1： =1 = =1xsinlm0()sinl0()重要极限 2： (1+ )x=e = (1+ )（） =e 或 =
7、elix i()(1i0()（ ） （ ） 1等价无穷小(x0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替； ； ； ； ； ；sinxtaxrcsinxarctnxl(1)x1xe； ； .1co2121xl 导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念：若函数 f(x)在 x0 的某邻域内有定义，当 xx 0 时，函数的极限存在，且极限值等于函数在 x0 处的函数值 f(x0)即 f(x)lim0x=f(x0)则称函数在 x0 处是连续的。连续与可导的关系：定理：若函数 f(x)在点 x0 处可导，则函数在点x0 处连续。(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点
8、不一定可导)导数的计算步骤(按定义计算)：第一步 求增量，在 x 处给自变量增量 x，计算函数增量 y，即 y=f(x+ x)-f(x)；第二步 算比值，写出并化简比式： = ；(化简比式的xyxf)f-(关键是使分式中仅分母或分子中含有 x 项，避免出现 或 )0第三步 取极限，计算极限 =f(x)lim0xy常用基本初等函数的导数公式：； ； ；/x1/xalnx /xe； ； ；/logaln/l1/sincosx； ； ；/csxi/tax2sec/t2； ； /etax/otx/arcsix；21x； ； /arcos21x/arctnx21/arcotx21导数的四则运算法则：设
9、u=u(x)，v=v(x)，则（uv） = u v； （cu ） =cu；（uv） =uv+uv； （ ） = .vu2v反函数的导数：y=f(x)是 x=(y)的反函数，则y= ，即 f(x)=1x)(1y复合函数求导法则:设 y=f(u),u=(x), 则复合函数 y=f(x)的导数为= 或 yx=fu xdxyu隐函数求导方法：隐函数的概念 针对因变量 y 写成自变量 x 的明显表达式的函数 y=f(x)，这种函数叫显函数；而两个变量 x 和 y 的对应关系是由一个方程 F(x,y)=0 所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。求隐函数的导数，并不需要先化为显
10、函数（事实上也很难都显化） ，只需把 y 看成中间变量 y=y(x)，利用复合函数求导法则，即可求出隐函数 y 对 x 的导数。例：求方程 x2+y2=1 所确定的函数的导数。解 在方程的两端对 x 求导，并将 y2 看作 x 的复合函数，则(x2+y2)=(1) 即 2x+2yy=0，y y=-x得 y= - yx参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中 t 为参数x=(t)y=(t)设函数 (t)和 (t) 都可导，且函数 (t)存在连续反函数 t= -1(t)，当 -1(t)0 时，这个反函数也可导；这时 y 是 x 的复合函数y= -1(t)=f(x)它可导，由复合函数求导法则知yx
11、= = = =dytxdty)(x罗必塔法则：当 xx 0(或 x)时，函数 f(x)，g(x)同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式 的极限可能存在，也可能不存在。)(gf我们称其为未定式，并记作 型或 ，这类极限将无法用“商的极0限等于极限的商”这一极限法则求出。未定式 (罗必塔法则一)： = =A(或无穷大)。0lim0x)(gfli0x(f若其中 x时，结论仍然成立。使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。未定式 (罗必塔法则二)： = =A(或无穷大) 。lim0x)(gfli0x(f若其中 x时，结论也成立。未定式
12、0型及-型：这两类未定式可转化为 型或 型。0未定式 00, 0,1 型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。 微分的运算及法则由微分的的概念 dy=f(x)dx 可知，求一个函数的微分，只要求出导数 f(x)再乘以 dx 就得到微分 dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例，对于 y=sinx，有 y=cosx，从而 dy=cosxdx。微分的法则：设 u=u(x)，v=v(x)，则d(cu)=cdu； d(uv)=dudv；d(uv)=udv+vdu； d( )=vu2dv 不定积分的性质、基本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质：性质一： =f(x
13、)或 d =f(x)dx；dxf)(dxf)(性质二： =F(x)+c；F性质三： =k (k 是不为 0 的常数)；xf)(xf)(性质四： = 。dgfdxg(不定积分的基本公式(均应加上常数 C)：=c； ； ；dx0kdxxd1； ； ；dxlnxedx xadlnx； ；cosixsincostcos； ； tdlnexdlnecaxxdlcstx； ； ；2ea2csxotsectanxsecx； ； ；csotxdcsx21dartn21dri； ；21xartan2xalna； 。2d2lx21dxrcsi第一换元积分法：设函数 u=(x)，且 f(u)有原函数 F(u)，du
14、=(x)dx (即 dx= du/(x) =参 见 微分概念及 计 算 = =F(u)+c= F(x)+cdxf)( uf)注意：该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有(x)，方可在换元时代入 dx= du/(x)并约去 (x)。提示：该积分法的步骤是先找出适当的 u=(x)，将函数转化为关于 u 的积分公式，再求出关于 u 原函数，最后根据 u与 x 的关系代入 x。第二换元积分法：设函数 x=(t)单调可微且 (t)0，dx=(t)dt =参 见 微分概念及 计 算 = =F(t)+c=F -1(x)+cdxf)(dttf)(提示：该积分法的步骤是先找出适当的 x=(t)，将函数
15、转化为关于 t 的积分公式，再求出关于 t 原函数，最后根据 x与 t 的关系代入 x。分部积分法：设函数 u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，则=uv- =解 题时这 个 为 u 不行就 换 那个 为 udxuvdxvu提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分 转化为易dxv求的不定积分 ，从而得所求结果。xv 定积分的性质及计算方法：性质一： =k （k 为常数） ；badxkf)(badxf)(性质二： =b-a；性质三： = ；baxgf)(baxf)(badxg)(性质四：若把区间a，b 分为两个区间a，c与c ，b ，则= +badxf)(caxf)(bcxf)(注意：c 有任
16、意性，可在 a，b之外；性质五：若 f(x)与 g(x)在a,b 上有 f(x)g(x)，则 ；badxf)(baxg)(性质六：若 M，m 分别是 f(x)在a ，b上的最大值和最小值，则m(b-a) M(b-a) =估 值 定理baxf)(性质七：若 f(x)在a，b上连续，则至少有一点 (a,b) ，使得=f()(b-a) =定 积 分中 值 定理，求平均 值 。badxf)(牛顿莱布尼兹公式：若 f(x)在a，b上连续，F(x) 是 f(x)的一个原函数，则=F(x) =F(b)-F(a)badxf)(ba可见，计算定积分，先用不定积分的方法求出一个原函数，然后把上、下限 a，b 代入原函数作减法运算。换元积分法：设函数 x=(t)，则 dx=(t)dt，若满足：(1)、当 t= 时，x=a；当 t= 时，x=b；(2)、当 t 在 ,上取值时，(t)的变化单调且范围是a,b，则= =F(t) badxf)(dttf)(提示：运用此公式时，要同时换上下限，新的积分上、下限代入自变量 t 的原函数相减即可，不必再回到原来的积分变量 x。分部积分法：设函数 u(x),v(x)在a,b 上有连续的导数 u(x)、v(x)，则=u(x)v(x) -badxvu)( badxvu)(即 =uv -bauv
