1、 B1 C BADC1A11.【2012 高考重庆文 20】 （本小题满分 12 分， （）小问 4 分， （）小问 8 分）已知直三棱柱 中， ， ， 为1ABC4AB3CD的中点。 （）求异面直线 和 的距离；（）若1，求二面角 的平面角的余弦值。11D【解析】 （）如答（20）图 1，因 AC=BC， D 为 AB 的中点，故 CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以CAB1C异面直线 和 AB 的距离为1 2=5（）：由 故 面 ，从而 ，1D,1B1DA故 为所求的二面角 的平面角。1CB1A1ACD因 是 在面 上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得1,从而 ， 都与 互余，
2、因此 ，所以1D,111B11ABD ，因此 得1RtA1tBA1DA218从而 211=3,3所以在 中，由余弦定理得1ADB22111cos 3DBA2.【2012 高考新课标文 19】 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱垂直底面，ACB=90 ，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中12点()证明：平面 BDC1平面 BDC（）平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【答案】3.【2012 高考陕西文 18】 （本小题满分 12 分）直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AB=A A1 ， =CB2（）证明 ;（）已知 AB=2，BC
3、= ，求三棱锥 的体积511【答案】4.【2012 高考辽宁文 18】(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 ， ， AA=1，点 M， N 分别/ABC90BAC2,AC为 和 的中点。/()证明： 平面 ;MN/()求三棱锥 的体积。/AC（椎体体积公式 V= Sh,其中 S 为地面面积，h 为高）135.【2012 高考江苏 16】 （14 分）如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， 分1ABC11ABCDE，别 是 棱 上 的 点 （ 点 不同于点 ） ，且 为1BC， DDEF，的中点1求证：（1）平面 平面 ；AE1BC（2）直线 平面 1/FD【答案】证明：（1） 是 直
4、三 棱 柱 ， 平面 。11CAB又 平面 ， 。ABD又 平面 ，1DE， ， 11E，平面 。AD1BC又 平面 ， 平面 平面 。ADEAD1BC（2） ， 为 的中点， 。11CF1B1F又 平面 ，且 平面 ， 。1AF又 平面 ， ， 平面1 ， 11CB。1ABC由（1）知， 平面 ， 。AD11AFD又 平面 平面 ， 直线 平面, EE1/AE6. （2013 新课标）18 （本小题满分 12 分）如图，直棱柱 1ABC中， ,分别是 1,B的中点，12（）证明： 1/平面 1D； （）求二面角 ACE的正弦值ABC C1A1B17. （2013 新课标 1 卷 18）如图，
5、三棱柱中， , ,1CBAB1A06（1 ）证明： ；1（2 ）若平面 平面 , ，求直线 与平面 所成角的正弦ABCB1C1C1值解：（）取AB中点E，连结CE， 1， E，AB= 1， 1= 06， A是正三角形， AAB， CA=CB， CEAB， 1CE=E，AB面 1CE， AB ； 6分（）由（）知 ECAB， 1AAB，又面 ABC面 1B，面 ABC面 1B=AB，EC面 1AB，EC 1EA，EA，EC， E两两相互垂直，以 E 为坐标原点，的方向为 x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，有题设知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0
6、, 3),B(1,0,0),则 BC=（1,0， 3）, 1B=1A=(1,0, ), C=(0, , ), 9 分设 n=(,)xyz是平面 1B的法向量，则 10，即 30xzy，可取 n=（ 3，1，-1）， cos,ACn= 1|5，直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105. 12 分8.（2013 北京卷理 17）如图，在三棱柱 中， 是边长为 的正方形，1CBA14C1B1A1CBA平面 平面 ， .ABC15,3BCA（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求二面角 的余弦值；11（3 ）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值。1BCDBA11D解：（I）因为
7、AA1C1C 为正方形，所以 AA1 AC.因为平面 ABC 平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1平面 ABC.(II)由（I）知 AA1 AC ，AA 1 AB. 由题知 AB=3，BC=5 ， AC=4，所以 ABAC. 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ,则 B(0，3，0),A 1(0，0，4),B 1(0，3，4),C 1(4，0，4) ，xyz设平面 A1BC1 的法向量为 ，则 ,即 ，,)n=(1BCn4yzx令 ，则 ， ，所以 .3z0x4y(0,43同理可得，平面 BB1C1 的法向量为 ,所以 . 由题知)m=16cos2
8、5nm,|二面角 A1BC 1B 1 为锐角，所以二面角 A1BC 1B 1 的余弦值为 .(III)设 D 是直线 BC1 上一点，且 . 所以 .解得,)xyzDC(,3)(4,)xyz， ， .434所以 . (,)A由 ，即 .解得 .10DB9250925因为 ，所以在线段 BC1 上存在点 D，9,25使得 ADA 1B.此时， .1BC9.（2013 四川卷理 19）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ，1ABC1ABC， ， 分别是线段 的中点， 是线段12A20,D,BP的中点D（）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ，说明理由，并证明直线BP1l平面 ；l1AD（）设（
9、）中的直线 交 于点 ，交 于lABMC点 ，求二面角 的余弦值N1N解： 如图,在平面 内, 过点 做直线 / ,因CPl为 在平面 外,。l1AB在平面 内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面 .Cl1ABC由已知, , 是 的中点,所以, ,则直线 .DCBD因为 平面 ,所以 直线 .又因为 在平面 内,且 与11Al11D相交,所以直线平面 . .6 分A解法一:连接 ,过 作 于 ,过 作 于 ,连接 .1P1AEPE1FAMF由 知, 平面 ,所以平面 平面 .MNN所以 平面 ,则 .11所以 平面 ,则 .1AEFA故 为二面角 的平面角(设为 ).1N设 ,则由 ,
10、,有 , .12BC120B60BAD2,1A又 为 的中点,所以 为 的中点, 且 ,PADMA1PM在 中, ;在 中, .1Rt521Rt12从而, , ,1AEP1AF所以 .2sin5所以 .2215co1siD1DC BA1 B1C1AP故二面角 的余弦值为 . 12 分1AMN15解法二: 设 .如图,过 作 平行于 ,以 为坐标原点,分别以 , 的方向为11E1BC1A1AED1轴, 轴, 轴的正方向 ,建立空间直角坐标系 (点 与xyz Oxyz点 重合).1A则 , .0,1因为 为 的中点,所以 分别为 的中点, PD,MNABC故 ,33,1122M所以 , , .1A
11、10A3,0设平面 的一个法向量为 ,则111,nxyz即 故有1,nMA10,n13,201xyz从而 13,2.xyz取 ,则 ,所以 .111,30n设平面 的一个法向量为 ,则AMN22xyz即 故有21,n210,n231,0,2,xyz从而 2230,.xyzABCDA1B1C1EA1B1C1ABCDE取 ,则 ,所以 .2y21z20,1n设二面角 的平面角为 ,又 为锐角,AMN则 .12,30,15cos5n故二面角 的余弦值为 . 12 分1AN10. （2013 湖南卷文 17）如图，在直棱柱 中， ,1BA09, , 是 中点，点 在棱 上运动。2CB31DBCE1（1
12、 ）证明： ；EA（2 ）当异面直线 所成的角为 时，1,06求三棱锥 的体积。BC1解： () .1CADE面为 动 点 ， 所 以 需 证因 为 ADBA 111 ,面且面是 直 棱 柱.ABCRT的 中 点 ，为是 等 腰 直 角 且又(.1111 ECCBECAD面且面由 上 两 点 ， 且证毕)（） .660,/ 111 ARTEA中 ，在.的 高是 三 棱 锥是 直 棱 柱中 ，在 111.2 ABBRT .3232131 1111 的 体 积 为所 以 三 棱 锥 EBACEBSVCACBAEBAC 11. （2013 新课标 2 卷文 18）如图，直三棱柱 中， 分别 的1CED,B中点。（1）证明： 平面 ；1BCDA1（2）设 , ,2B求三棱锥 的体积。E112.（ 2013 天津卷文 17）如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，且各1CBAA1BCD棱长均相等， 分别为棱 的中FED, 1,点。（1）证明： 平面 ；CA1（2）证明平面 平面11B（3）直线 与平面 所成角的正弦值BD
