1、北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期高三年 级期中统一考试数学试卷（理工类） 2017.11 （考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 ， ，则|1Ax2|log1BxABA. B. C. D. | |2x|0x2. 已知实数 满足条件 则 的最大值为 A. 12 B. 10 C. 8 D. 6,xy,6,yx2xy3.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上
2、所有的点sin(2)3sinxA. 先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变 2B. 先向右平移 个单位长度，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变61C. 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度 126D. 横坐标变伸长原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度34. 已知非零平面向量 ，则 “ ”是“存在非零实数 ，使 ”的,ababb=aA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.已知 是等差数列 ( )的前 项和，且 ,以下有四个命题：数列 中的最大项为 ，数列nSnn564Sn10S的公差 ， ， ，其
3、中正确的序号是（ ） A. B. C. D. a0d10S106. 如图，在直角梯形 中， ， , 是 的中点 , ,ACD/ADE1C2AB则 A. B. C. D. EAB5517. 袋子里有编号为 的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球2,346编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说： “我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A一定有 3 号球 B.一定没有 3 号球 C.可能有 5 号球 D.可能有 6 号球8. 已知函数 与函
4、数 在区间 都为减函数，设 ，且()sinco)fxx()cosin)gxx(0)2， 123,(0)x， ， ，则 的大小关系是（ ）1cosx2si 3(si123,A. B. C. D. 233122231x第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图，则输出 的值为 .i10. 已知 ，且 ，则 的最小值是 . 1x1yxy11. 已知函数 若 的图象与直线 有两个不同的交点，12(),log.xf()fxykx则实数 的取值范围为 .k12. 已知函数 同时满足以下条件： 定义域
5、为 ； 值域为 ； .()fxR0,1()0fx开始i=1，S=2结束i=i+1S14?输出 i是否S=S+2iECD BA（第 9 题图）试写出一个函数解析式 . ()fx13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值 S. 若罐头盒的底面半径为 ，则罐头盒的体积r与 的函数关系式为 ；当 时，罐头盒的体积最大. Vrr14. 将集合 表示为它的 5 个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素=M1,23之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合 的 5 个三元子集 . （只写出一组）M三、解答题：本大题共 6 小题，共
6、 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分 13 分)已知数列 的前 项和为 ( )，满足 .（）求数列 的通项公式；nanS21nSana（）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .nb12=lognbnT16. (本小题满分 13 分)已知函数 .（）求函数 的最小正周期；（）当 时，求函数()sico()3fxx()fx0,2x的取值范围.)fx17. (本小题满分 13 分)在 中， ， . （）试求 的值；（）若 ，试求 的面积. ABC 427btanC5aABC18. (本小题满分 14 分)已知函数 ， .（）求函数 的单调区间；2()exfxaR(
7、)fx（）设 ，其中 为函数 的导函数 .判断 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.(gxf(f()g19. (本小题满分 14 分)已知函数 .（ ）求曲线 在点 处的切线方程；1()lnexf yf1,()f（）求证： ；（）判断曲线 是否位于 轴下方，并说明理由.1lnex()yfx20. (本小题满分 13 分) 数列 是正整数 的任一排列，且同时满足以下两个条件： ；当12,na 1,2n 1a时， ( ).记这样的数列个数为 .（I ）写出 的值；（II）证明2n1|2ia,i ()f(2),3(4)ff不能被 4 整除. 08)f北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期
8、高三年 级期中统一考试数学答案（理工类） 2017.11 一、 选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B C A B D D C二、 填空题： 9. 5 10. 3 11. 1ln21ln2,)(,),012. 或 或 （答案不唯一） 13. ；()|sin|fxcos12x2,()01.xf或 312(0)2SVSrrS14. 24; , , , , （答案不唯一）185， ， 374， ， 5613， ， 2， ， 49， ，三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分 13 分)解：（）当 时， .当 时， ,
9、 ，即 所以数列 是首项为 1，公比n1an1nnaS12na1=2nana为 2 的等比数列.故 , . 8 分=2N（）由已知得 .因为 ，所以 是首项为 0，公差为 的等11loglnnb1()nbnb差数列.故 的前 项和 . 13 分n()2T16. (本小题满分 13 分) 解：因为 ，所以()2sinco()3fxx2()2sin(cosin)sico3sin3fxxxxx. （）函数 的最小正周期为 . 8 分112)(32()f 2T（）因为 ，所以 .所以 .所以 . 13 分0,x,x3sin(2,12x3()0,1fx17. (本小题满分 13 分) 解：（）因为 ，
10、，所以 .所以 .4A37cbsisin7()4CB3sin2si()4CC所以 .所以 .所以 .所以 . 7 分337sin2(sicosin)4CCsincos3insi3cota（）因为 ， ， ，由余弦定理 得 .5aA27b22abA225()72bb所以 ， .所以 的面积 . 13 分7b32cB11si7ScA18. (本小题满分 14 分)解：（）函数 的定义域为 . .()fxxR()2)(exfxa当 时，令 ，解得： 或 ， 为减函数；令 ，解得： ， 为增函数.a(0fxa2()f 02()fx当 时， 恒成立，函数 为减函数；2)ex当 时，令 ，解得： 或 ，函
11、数 为减函数；令 ，解得： ，函数2f f()f a为增函数.()fx综上，当 时， 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ；当 时， 的单调递减区a()fx(,)2a,2a()fx间为 ；当 时， 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 . 8 分,2()f (,)a(,)（） 在定义域内不为单调函数，以下说明： .()g2(4)3exgxfx记 ，则函数 为开口向上的二次函数.方程 的判别式24)3hxxa()h0h恒成立.所以， 有正有负. 28(0a从而 有正有负 .故 在定义域内不为单调函数. 14 分()g19. (本小题满分 14 分)解：函数的定义域为 ，(,)21(exf（） ，又
12、 ，曲线 在 处的切线方程为 .1ef1()efyfx11()eeyx即 . 4 分2()+0xy（） “要证明 ”等价于“ ”.设函数 .令 ，解得 .1ln,()ex1lnex()lngx()=1+ln0gx1ex(0,1,e)gx(AA因此，函数 的最小值为 .故 .即 . 9 分()gx1()eg1lne1lex（）曲线 位于 轴下方. 理由如下：由（）可知 ，所以 .yfn11()()eexxf设 ，则 .令 得 ；令 得 .所以 在 上为增函数，1()exk1()exk()0k1x()0kxk0,上为减函数.所以当 时， 恒成立 ,当且仅当 时， .又因为 ， 所以1+， 0x()
13、1=0kx1x()0k1()0ef恒成立 . 故曲线 位于 轴下方. 14 分()0fxyf20. (本小题满分 13 分)（）解： . 3 分2,32(4)ff（）证明：把满足条件的数列称为 项的首项最小数列.对于 个数的首项最小数列，由于 ，故 或 3.nn1a2（1）若 ，则 构成 项的首项最小数列，其个数为 ；2a231,1a ()fn（2）若 ，则必有 ，故 构成 项的首项最小数列，其个数为 ；3,445,naa (3)fn（3）若 则 或 . 设 是这数列中第一个出现的偶数，则前 项应该是 ， 是 或2=351k k,3k 1k，即 与 是相邻整数 .由条件，这数列在 后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为 2 在 之后，故kk1 1k a后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.1a综上，有递推关系： ， .由此递推关系和（I）可得， 各数被 4()(3)fnfn5(),(08)ff除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它们构成 14 为周期的数列，又，84所以 被 4 除的余数与 被 4 除的余数相同，都是 1，故 不能被 4 整除. 13 分()f (2)f (208)f
