1、高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、
2、信息，投资，路线等问题。从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。 复习建议1学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用.离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值；（2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。2离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。3离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。4离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散
3、程度。 知识点回顾1离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量 的概率分布为 1x 2 - nx -P p - p -则称 为 的数学期望（平均值、均值） nxxE21简称为期望。 期望反映了离散型随机变量的平均水平。 是一个实数，由 的分布列唯一确定。 随机变量 是可变的，可取不同值。 是不变的，它描述 取值的平均状态。E（2）期望的性质： C)(为 常 数 ）( ba为 常 数 ）, 若 ，则 ),(pnBnpE（ 二 项 分 布 ） 若 ，则 ,kg1（ 几 何 分 布 ）2离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量 可能取的值为且这些值的概率分别为,2 nx ,
4、321npp则称 ；为 2121)()(ExpD Ex2)(的方差。 反映随机变量取值的稳定与波动。 反映随机变量取值的集中与离散的程度。 是一个实数，由 的分布列唯一确定。 越小， 取值越集中， 越大， 取值越分散。DD 的算术平均数 叫做随机变量 的标准差，记作 。注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。（2）方差的性质： 0)(CD为 常 数 ） ab2为 常 数 ）b,( 若 ，则 ),(pnBnpqDp1其 中 （ 二 项 分 布 ） 若 ，则 ,kg2其 中 （ 几 何 分 布 ） 2)(ED 考点预测根据离散型随机变量的试
5、题背景进行考题类型预测：考点 1：产品检验问题【例 1】已知：甲盒子内有 3 个正品元件和 4 个次品元件，乙盒子内有 5 个正品元件和 4个次品元件，现从两个盒子内各取出 2 个元件，试求（）取得的 4 个元件均为正品的概率；（）取得正品元件个数 的数学期望.【分析及解】 （I）从甲盒中取两个正品的概率为 P（A ）= 7123C从乙盒中取两个正品的概率为 P（B）= 4 分8529A 与 B 是独立事件 P （AB ）=P（A ）P（B）= 126（II） 的分布列为0 1 2 3 4P 1263650512 分140E【例 2】 某车间在三天内，每天生产 10 件某产品，其中第一天，第二
6、天分别生产出了 1 件、2 件次品，而质检部每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（I）求第一天通过检查的概率；（II）求前两天全部通过检查的概率；（III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得 0 分，通过 1 天、2 天分别得 1 分、2 分.求该车间在这两天内得分的数学期望.【分析及解】 （I）随意抽取 4 件产品检查是随机事件，而第一天有 9 件正品，第一天通过检查的概率为 534109CP（II）同（ I） ，第二天通过检查的概率为 .14082因第一天，第二天是否通过检查相互独立。所以，两天全部通过检查的概率为：
7、 .5321P（II）记得分为 ，则 的值分别为 0，1，2，.15432)0(P.8.513)2(P因此， .1542840E考点 2：比赛问题【例 3】A、B 两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中 A 队胜的概率为 ，设各场比赛的胜负相互独立.32（1）求 A 队夺冠的概率；（2）设随机变量 表示比赛结束时的场数，求 E.【分析及解】 （1）A 队连胜 3 场的概率为 ，31)(P打 4 场胜 3 场的概率为 ，322C打 5 场胜 3 场的概率为 .)3()(443又以上事件是互斥的，A 队获胜的概率为 P=P1+P2+P3= 86（2） ， （
8、A 队连胜 3 场或 B 队连胜 3 场） ，)(3)(；2702431CP；8)()5(.52703E【例 4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为 0.6，若前四局出现 2 比 2 的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为 0.7，设比赛结束时的局数为 .（）求 的概率分布；（）求 E .【分析及解】 （） =3，4，5. ,280.60)3(3P ,374.04.621323 C564.)5( 241.3.5的概率分布为3 4 5P 0.2800 0.3744 0.3456（）E =
9、30.2800+40.3744+50.3456=4.0656. 考点 3：射击，投篮问题【例 5】甲、乙两人各射击 1 次，击中目标的概率分别是 和 ，假设两人射击是否击中324标，相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（1）甲射击 4 次，至少有一次未击中目标的概率；（2）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；（3）假设某人连续 2 次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？【分析及解】 （1）甲至少一次未击中目标的概率 P1 是 816)3()0()4(3)( 04444 PP（2）甲射击
10、4 次恰击中 2 次概率为 27322C乙射击 4 次恰击中 3 次概率为 641)(43由乘法公式得 8672P（3）乙恰好 5 次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为： 1045)(43)1(4223CP【例 6】甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投 2 次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率41为 求：.31（1）乙投篮次数不超过 1 次的概率；（2）记甲、乙两人投篮次数和为 ，求 的分布列和数学期望.【分析及解】记“甲投篮投中”为事件 A， “乙投篮投中”为事
11、件 B。解法一“乙投篮次数不超过 1 次”包括三种情况：一种是甲第 1 次投篮投中，另一种是甲第 1 次投篮未投中而乙第 1 次投篮投中，再一种是甲、乙第 1 次投篮均未投中而甲第 2 次投篮投中，所求的概率是 P = P（A+ )B1.3.5= )()()ABPAP)(P.85413241答：乙投篮次数不超过 1 次的概率为 解法二：“乙投篮次数不超过 1 次”的对立事件是“乙投篮 2 次” ，所以，所求的概率是)(1ABP= ()85432答：乙投篮次数不超过 1 次的概率为 85（2）甲、乙投篮总次数 的取值 1，2，3，4， 8423)()()3( 4)4()1( APBABP4甲、乙
12、投篮次数总和 的分布列为 1 2 3 4P 481甲、乙投篮总次数 的数学期望为 8213412E答：甲、乙投篮次数总和 的数学期望为 .8考点 4：选题，选课，做题，考试问题【例 7】甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出的概率为 0.92。求：（1）求该题被乙独立解出的概率。（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。【分析及解】 （1）记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B.设甲独立解出此题的概率为 P1，乙独立解出此题的概率为 P2.则 P（A）=P 1=0.6，P（B）=P 2P（A+B）=1 P（ ）=1(1P 1)(1P 2)=P1+P2P
13、1+P2=0.920.6+P 20.6P 2=0.92则 0.4P2=0.32 即 P2=0.8. （2）P（=0 ）=P（ ） P（ ）=0.40.2=0.08ABP(=1)=P(A)P( )+P( )P(B)=0.60.2+0.40.8=0.44P(=2)=P(A) P(B)=0.60.8=0.48 的概率分布为： 0 1 2P 0.08 0.44 0.48E=0 0.08+10.44+20.48=0.44+0.96=1.4D=(01.4) 20.08+(11.4)20.44+(21.4) 20.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4解出该题的人数 的数学期望为 1.4，
14、方差为 0.4。【例 8】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为 0.08，只选修甲和乙的概率是 0.12，至少选修一门的概率是 0.88，用 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（）记“函数 为 R 上的偶函数”为事件 A，求事件 A 的概率；xf2)(（）求 的分布列和数学期望.【分析及解】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z依题意得 5.064.,8.0)1()(1,2. zzyxzy解 得（I） 若函数 为 R 上的偶函数，则 =0f2 当 =0 时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选)1()()0() z
15、yxyzPA=0.40.50.6+（10.4） （10.5） （10.6）=0.24事件 A 的概率为 0.24（II）依题意知 =0.2则 的分布列为0 2P 0.24 0.76 的数学期望为 E =00.24+20.76=1.52考点 5：试验，游戏，竞赛，研究性问题【例 9】某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满 1000 元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为 ，若中奖，则家具城返还顾客现金 1000 元，某顾客购51买一张价格为 3400 元的餐桌，得到 3 张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为 元.（I）求 的所有可能取值；（II）求 的分布列；（III ）求 的期望
16、 E.【分析及解】解法一（I） 的所有可能取值为 3400，2400，1400，400（II） 12548)()240(156)4(30( 133 CPP)1 52C 的分布列为 3400 2400 1400 400P 125648125（III ） .2801540248030 E解法二 设该顾客中奖奖券 张，则 ),3(3B（II） 156)()4(P125)()3()40( 4212851)240( 323CP（III ） 280340EE,6)21(3)6(,6123)9(P所以 的数学期望 E=0P（=0 ）+6P（=3）+9（=9）=2.5由于按先 A 后 B 或先 B 后 A 的
17、次序答题，获得奖金期望值的大小相等，故获得奖金期望值的大小与答题顺序无关.【例 10】某小组有 7 个同学，其中 4 个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.（1）现从该小组中随机选 2 个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到 1 个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选 2 个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数 是一个随机变量，求随机变量 的分布列及数学期望 E .【分析及解】 （）记“恰好选到 12 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A，则其概率为.74)(213
18、CP（）随机变量 =2，3，4P（ =2）= P（ =3）= .72.74213CP（ =4）= 随机变量 的分布列为.1273C2 3 4P 77471E =2 +3 +4 =72410考点 6：旅游，交通问题【例 11】春节期间，小王用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为 ，用 表示 4 位朋友在第三个景点下车的人数，求：31（）随机变量 的分布列；（）随机变量 的期望.【分析及解】解法一：（I） 的所有可能值为 0，1，2，3，4，由等可能性事件的概率公式得 ,8132)(,2783)2( ,160443144 CPCP1从而 的分布列为0 1 2
19、 3 4P 816832788181（II）由（I）得 的期望为.3481327813860E解法二：（I）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是 4 次独立重复试验. .4,3210,)32(1)(,44kCkPBk即 有故解法三：（II）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等。 .34,3E从 而即【例 12】 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率（2）求恰有 2 条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.【分析及解】 （1）3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为：P 1= 834A（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P 2= 69324C（3）设选择甲线路旅游团数为 ，则 =0，1，2，3
