1、1图 4GEFAB CD 图 5DGBF CAE立体几何专题1如图 4，在边长为 1 的等边三角形 中， 分别是 边上的点，ABC,DE,ABC， 是 的中点， 与 交于点 ，将 沿 折起，得到如图 5ADEFBCFGF所示的三棱锥 ，其中 2(1) 证明： /平面 ；(2) 证明： 平面 ；CFB(3) 当 时，求三棱锥 的体积 23DDEGFDEGV【解析】 （1）在等边三角形 中， ABDA,在折叠后的三棱锥 中ADECF也成立， , 平面 ，/C平面 ， 平面 ；BF/B（2）在等边三角形 中， 是 的中点，所以 ， .AAFBC12F在三棱锥 中， ， BCF222B；A平 面（3）
2、由（1）可知 ，结合（2）可得 ./GEGEDF平 面113133224FDEFVDF 【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个2平面几何的内容.2如图 5 所示，在四棱锥 P-ABCD 中,AB 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为 PAD 中 AD 边上的高21（1） 证明：PH 平面 ABCD；（2） 若 PH=1，AD= ,FC=1，求三棱锥 E-BCF 的体积；（3） 证明：EF 平面 PAB 解：(1) ABCDPHBPAD平 面所 以 平 面 ，面又 中 的 高为 AH(2
3、):过 B 点做 BG ；GG， 垂 足 为连接 HB,取 HB 中点 M，连接 EM，则 EM 是 的中位线BPHC)1(平 面知 ：由 PAD平 面EF平 面 即 EM 为三棱锥 底面上的高B-=BGFC21SB 212PH 123EMSVBCFBCFE3（3）：取 AB 中点 N，PA 中点 Q，连接 EN，FN，EQ，DQNFEABD21/EPBAD,/是 距 形四 边 形又 的 中 位 线是又 平 面 ，平 面 平 面C3、如图，已知三棱锥 ABPC 中，AP PC， ACBC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且PMB 为正三角形。（）求证：DM 平面 APC； （）求证：平
4、面 ABC平面 APC；（）若 BC4 ，AB20，求三棱锥 DBCM 的体积NEFBF DE平 面 是 距 形四 边 形 平 面又 平 面44、已知正方体 ABCDA1B1C1D1，其棱长为 2，O 是底 ABCD 对角线的交点。求证：（1）C 1O面 AB1D1；（2）A 1C面 AB1D1。 （3）若 M 是 CC1 的中点，求证：平面 AB1D1平面 MB1D15.如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，ADPA2 ，CD 2 ，E、F 分别是2AB、PD 的中点.(1)求证：AF平面 PCE；(2)求证：平面 PCE平面 PCD；(3)求四面体 PEFC 的体积.D1ODBAC
5、1B1A1CM56.如图，已知在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1平面 ABC，ACBC，M、N、P、Q 分别是AA1、BB 1、AB、B 1C1 的中点.(1)求证：平面 PCC1平面 MNQ；(2)求证：PC 1平面 MNQ.7.如图，在棱长为 2 的正方体 中，1DCBA、 分别为 、 的中点.EF1D（1）求证： /平面 ；1（2）求证： CB168.右图为一简单集合体，其底面 ABCD 为正方形， 平面 ，PDABC，且 =2 ./ECPD2AEC（1）画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥 BCEPD 的体积；（3）求证： 平面 /PD9.如图所示，四棱锥 PABCD中，底面
6、 AB为正方形， PD平面 ABC，2PDAB， E， F， G分别为 、 P、 C的中点（1）求证： ；面（2）求证：； ；面/（3）求三棱锥 的体积PA BCDE73、解：（）由已知得， 是 ABP 的中位线MD2 分AP APC面面 ,4 分面（） 为正三角形，D 为 PB 的中点，B， 5 分PM6 分A又 7 分C,PBCA面BC面又 9 分P, 面平面 ABC平面 APC 10 分A面（） ， 是三棱锥 MDBC 的高，且 MD 11 分MD面 D53又在直角三角形 PCB 中，由 PB10，BC4，可得 PC 12 分21于是 ， 13 分12BCBPS1 14 分DMV 703
7、ShDC4、证明：（1）连结 ，设1A11BDO连结 ， 是正方体 1O是平行四边形C且 1A1AC又 分别是 的中点， 且,O,1OA1CO是平行四边形 1C面 ， 面1,A1BDC1B8面 5 分1COA1BD（2） 面 1!CBD又 ， 11A面ACBD即同理可证 ， 11又 面 9 分1AC1BD（3）设 B1D1 的中点为 N,则 ANB1D1,MNB1D1,则63MNAM， ，22,ANRT， 是 1,B面（也可以通过定义证明二面角是直二面角） 14 分11,BD面 面5、.解：(1)证明：设 G 为 PC 的中点，连结 FG，EG，F 为 PD 的中点， E 为 AB 的中点，F
8、G CD， AE CD12 12FG AE，AF GEGE平面 PEC，AF 平面 PCE；(2)证明：PAAD2，AFPD又PA平面 ABCD，CD 平面 ABCD，PACD，ADCD，PA ADA，CD平面 PAD，AF平面 PAD，AFCD .PDCDD，AF平面 PCD，GE平面 PCD，GE平面 PEC，9平面 PCE平面 PCD；(3)由(2)知，GE平面 PCD，所以 EG 为四面体 PEFC 的高，又 GF CD，所以 GFPD，EGAF ，GF CD ，212 2SPCF PDGF2.12得四面体 PEFC 的体积 V SPCF EG .13 2236、证明：(1)AC BC
9、，P 为 AB 的中点，ABPC，又 CC1AA 1，AA1平面 ABC，CC 1平面 ABC，CC 1AB，又CC 1PCC，AB平面 PCC1，由题意知 MNAB，故 MN平面 PCC1，MN 在平面 MNQ 内，平面 PCC1 平面 MNQ.(2)连接 AC1、BC 1，BC 1NQ，ABMN，又 BC1ABB，平面 ABC1平面 MNQ，PC 1 在平面 ABC1 内，PC 1平面 MNQ.解：(1)证明：连接 AF，则 AF2 ，DF 2 ，2 2又 AD4，DF 2AF 2AD 2，DFAF.又 PA平面 ABCD，DFPA，又 PAAFA ， .DFPDFP平 面平 面(2)过点
10、 E 作 EH FD 交 AD 于点 H，则 EH 平面 PFD 且 AH AD.1410侧侧侧 侧侧侧侧侧侧再过点 H 作 HG DP 交 PA 于点 G，则 HG 平面 PFD 且 AG AP，14平面 EHG 平面 PFD.EG 平面 PFD.从而满足 AG AP 的点 G 为所求 .147、证明: （1）连接 1BD、 分别为 、 的中点，则 / ，EFEF1BD又 平面 ， 平面 ，11ACAC /平面 DB（2）正方体 中， 平面 ，则1B1ABC1正方形 中， ，又 =B，AB、 平面 ,1CCA1D则 平面 ，B1DA平面 ，所以1B11又 / ,所以 EF.EFC8、解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-3 分(2) 平面 ， 平面PDABPDE平面 平面 ABCDC BC 平面 -5 分 -6 分11()322SEC梯 形 PDE四棱锥 BCEPD 的体积.-8 分3CEPPCEV梯 形(3) 证明： ， 平面 ，/PDA平面AEC/平面 ,-10 分D同理可得 BC/平面 -11 分EC 平面 EBC,BC 平面 EBC 且 ECB平面 /平面 -13 分BECPA又BE 平面 EBC BE/平面 PDA-14 分
