1、三角函数大题压轴题练习1已知函数 ()cos2)sin()si()34fxx（）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数 在区间 上的值域()fx,12解：（1） cos)sin()si()34xi2incos(incos)2xx2213cosiix2incosxsin()6xT2周由 (),()23kxkZxZ周函数图象的对称轴方程为 （2） 5,2,16xx因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调()sin)f13,32递减，所以 当 时， 取最大值 13x()fx又 ，当 时， 取最小值()122ff2x()fx32所以 函数 在区间 上的值域为()fx,3,12已知函数 （ ）
2、的最小正周期为 2 ()sin3sin2f x0（）求 的值；（）求函数 在区间 上的取值范围()fx203，解：（） 1cos()sin2xf x31sin2cos2xxsin26x因为函数 的最小正周期为 ，且 ，()f0所以 ，解得 21（）由（）得 1()sin26fx因为 ，03 所以 ，7266x 所以 ，1sin1 因此 ，即 的取值范围为 30i262x ()fx302，3. 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ，mn1，且 A 为锐角.,（）求角 A 的大小；（）求函数 的值域.()cos24si()fxxR解：（） 由题意得 3inco1,12sin)1,sin()
3、.662A由 A 为锐角得 ,6A（） 由（）知 1cos2所以 2 213()insiin(si).fxxxx因为 xR，所以 ，因此，当 时，f(x)有最大值 .s1,当 时， 有最小值-3,所以所求函数 的值域是sin1()fxf32，4.已知函数 ， 的最大值是 1，其图像经过点()sin()0)fxA， xR （1）求 的解析式；（2）已知 ，且 ，32M， f 02， ， 3()5f，求 的值()f()f【解析】 （1）依题意有 ，则 ，将点 代入得1A()sin)fx1(,)32M，而 ， ， ，故sin()320536；cosfxx（2）依题意有 ，而 ，312,5,(0,)2
4、，2245sin1(),sin()3。1456(cocosins3f5.已知函数 1 17(),()(i)i(cos),(,).2tftgxfxfx（）将函数 化简成 （ ， ， ）的形式；sinAB0A0,（）求函数 的值域.()gx解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（） 1sin1cos()coxxgxAA22(i)()ssiinxx1in1coco.ssiAA7,c,iin,12xxxsin1os()coigAAsinco2x .4（）由 得172x周5.3x周在 上为减函数，在 上为增函数
5、，sint53,45,2又 （当 ） ，ii,sini()sin4x周 17,2x即 21sin()2i()34x周故 g(x)的值域为 ,3.6 （本小题满分 12 分）在 中，角 所对应的边分别为 ， ，ABC, ,abc23tant4,2ABC，求 及2sincosi,AB,解：由 得tatn42cotan42C cosiinC1sic ，又1s2(0,) 56C， 或由 得 sincosiBA2sincosi()BC即 ()0C6C2()3AB由正弦定理 得sinisinabcC1sin23BbcaA7.在 中,内角 对边的边长分别是 .已知 .C , ,abc2,3C若 的面积等于
6、,求 ;B 3ab若 ,求 的面积.sin()2sinAABC说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分 12 分解析：（）由余弦定理及已知条件得， ，24ab又因为 的面积等于 ，所以 ，得 4 分ABC 31sin3Cab联立方程组 解得 ， 6 分24ab， 2ab（）由题意得 ，sin()si()4sincoBA即 ， 8 分sico2coBA当 时， ， ， ， ，063a2b当 时，得 ，由正弦定理得 ，cssiniBAa联立方程组 解得 ， 24ab， 34所以 的面积 12 分ABC 12sinSC1.已知函数 .()i
7、)i()cos(,)6fxxxaR为 常 数()求函数 的最小正周期；()若函数 在- ， 上的最大值与最小值之和为 ，求实数 的值.()fx23a解：（） sincos6xa3sincox5 分ix函数 的最小正周期 7 分()f2T() ，,2x236x9 分minffa11 分ax23ff由题意，有 ()(3a 12 分1a2.（本小题 12 分）已知函数 .21)4(,3)0(,2cosincos2)( ffxbxaf 且（1）求 的最小正周期；（2）求 的单调增区间；)(xf )(f解：（1）由 得 3 分21)4(30f12ba6 分)32sin(icos3cosincs3)(2
8、xxxxf故最小正周期 T（2）由 )(2Zkk得 )(115x故 的单调增区间为 12 分)(f )(1,5kk3已知 ，将 的图象按向量 平移后，xaxxcosin34cos2f )2,4(b图象关于直线 对称1（）求实数 的值，并求 取得最大值时 的集合；a)(xfx（）求 的单调递增区间)(xf解：（） ，将 的图象按向量 平移2cos2sin3x)(xf )2,4(b后的解析式为 3)4()xfgacos3in分的图象关于直线 对称，)(xg12x有 ，即 ，解得 5 分)6(0a31则 62)6sin(4cossin32)( xxxf分当 ，即 时， 取得最大值 27 分6k3k)
9、(f因此， 取得最大值时 的集合是 8 分)(xfx,3Zkx（）由 ，解得 262kk 36x因此， 的单调递增区间是 12)(xf 3,)(k分4.已知向量 ( ) 和 =( )， ，2 msin,cocos,in2(1)求 的最大值；(2)当 = 时，求 的值|n|m58284解：(1) (2 分)cosin2,cosin=2i()mn= = (4 分)42(cosin)4cos41cos4 ，2 ， ， 195)s(max=2 (6 分)|nm2(2) 由已知 ,得 (8 分)857cos425又 (10 分)2coss()14 16()8 ，2 ， (12 分)892854cos25
10、。5.。已知 A、B、C 的坐标分别为 A（3，0） ，B（0，3） ，C（ ） ，sin,co).23,(（I）若 求角 的值；|,|BCA（II）若 的值.tan12sii,2求5、解：（1） ， )3sin,(co),i3(cos BC，60)| 2AC.2|(in)1iB由 得 . 又 .|cos45),23(（2）由 .1sin)3(,1 得CA.2csin又 .cosin2cosin12sita1i2 由式两边平方得 ,94si .5tan12si2.95cosin2 6.在ABC 中，a,b,c 分别为角 A，B，C 的对边，设 ，222()()4fxabxc（1）若 ，且 BC
11、= ，求角 C.（2）若 ，求角 C 的取值范围.()0f3()0f6解；（1）由 f（1）=0，得 a2a 2+b24c 2=0， b= 2c（1 分）.又由正弦定理，得 b= 2RsinB，c=2RsinC, 将其代入上式，得 sinB=2sinC（2分）BC= ，B= +C，将其代入上式，得 sin（ +C）=2sinC（3 分）33sin（ ）cosC + cos sinC =2sinC，整理得， （4 分）3CcosintanC= （5 分）3角 C 是三角形的内角，C= （6 分）6（2）f（2）=0，4a 22a 2+2b24c 2=0，即 a2+b22c 2=0（7 分） 由余
12、弦定理，得 cosC= （8 分）abc= ab22cosC= （当且仅当 a=b 时取等号）（10 分）421cosC ，21C 是锐角，又余弦函数在（ 0， ）上递减，.0C （12 分）237 A、B、C 为ABC 的三内角，且其对边分别为 a、b、c. 若 (cos ，sin )，mA2 A2(cos ，sin )，且 .（1）求 A；nA2 A2 mn12（2）若 a2 ，三角形面积 S ，求 b+c 的值. 3 37.解：（1） (cos ，sin )， (cos ，sin )，且 ，A2 A2 A2 A2 n12 cos2 sin 2 ， 2 分A A 12即cosA ，又 A(
13、0 ， )，A 5 分12 23（2）S ABC bcsinA bcsin ，bc4 7 分12 12 23 3又由余弦定理得：a 2=b2+c22bccos120b 2+c2+bc 10 分16(b+ c)2， 故 b+c4.12 分8.已知向量 =（sin B，1 cosB)，且与向量 =(2， 0)所成角为 ，其中 A, B, m n 3C 是 ABC 的内角 (1)求角的大小； (2)求 sinA+sinC 的取值范围(本题满分 12 分)8.解：（1） =（sinB，1-cosB) ,与向量 =（2，0）所成角为m n ,3 3 分,3sinco1Btan 6 分,3,2,3202
14、CAB即又（2）：由（1）可得 )3sin(co2sin1)sin(sin ACA8 分 30A 10 分2sin(A+ )( ,1,sinA+sinC ( ,1. 3当且仅当 12 分1sin,6CACA周9.(本题满分 12 分)在ABC 中，已知(a+ b+c)(a+bc)=3ab，且 2cosAsinB=sinC，求证：ABC 为等边三角形9.解 由已知得： ，即2()3bc22 即 C=60 (1)1cosaC又C=180(A+B)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB由已知：sinC=2cosA sinBsinAcosBcosAsinB=0 即 sin(AB)=0A、B 为三角形内角， AB (180 ，180)AB=0 即 A=B (2)由(1)(2)可知：ABC 为等边三角形10.（12 分）已知 中 ,边 AB、BC 中点分别CCBAC)(2为 D、E（1）判断 的形状AB（2）若 ，求0sin10 解：（1）由已知化简得 )(即 得； 为直角三角形-6 分0CBAA（2）设 A(a,0)B(0,b)则 E(0, ),D( )2b,asinB= -12 分042aED3232sinB
