1、第一章：有理数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义（1）正数：像 1、2.5、这样大于 0 的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“”号，表示比 0 小的数叫做负数；（3）0 即不是正数也不是负数，0 是一个具有特殊意义的数字，0 是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。概念剖析：判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+” “”去判断，要严格按照“大于0 的数叫做正数；小于 0 的数叫做负数”去识别。正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；常常
2、有温差、时差、高度差(海拔差 )等等差之说，其算法为高温减低温等等；例 1 下列说法正确的是( )A、一个数前面有“”号，这个数就是负数； B、非负数就是正数； C、一个数前面没有“”号，这个数就是正数； D、0 既不是正数也不是负数；例 2 把下列各数填在相应的大括号中 8， 43，0.125，0， 31， 6， 25.0， 正整数集合 整数集合 负整数集合 正分数集合 例 3 如果向南走 50米记为是 米，那么向北走 782米记为是 _, 0 米的意义是_。例 4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量 2 克，记作+2 克，那么 5克表示_知识窗口：正数和负数通常表示具有相反
3、意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。例 5 若 a ，则 是 ；若 0a，则 是 ；若 ba，则 是 ；若b，则 是 ；（填正数、负数或 0）2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数。有理数的分类如下：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：负 分 数正 分 数分 数 负 整 数正 整 数整 数有 理 数 0负 分 数负 整 数负 有 理 数 正 分 数正 整 数正 有 理 数有 理 数 0概念剖析：整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数；
4、正有理数和 0 又称为非负有理数，负有理数和 0 又称为非正有理数整数和分数都可以化成小数部分为 0 或小数部分不为 0 的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；例 6 若 a为无限不循环小数且 a， b是 的小数部分，则 ba是（ ）A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定例 7 若 为有理数，则 不可能是（ ）A、整数 B、整数和分数 C、 )0(pq D、 3、数轴标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示 0（叫做原点） ，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向
5、，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。概念剖析：画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设 a是一个正数，则数轴上表示数 a的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 的点在原点的左边，与原点的距离是个单位长度。在数轴上求任意两点 a、 b 的距离 L,则有公式 bL或 ，这两个公式选择那个都一样。
6、例 8 在数轴上表示数 3 的点到表示数 的点之间的距离是 10，则数 a ；若在数轴上表示数 3 的点到表示数a的点之间的距离是 b，则数 。例 9 a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A、 a+b0 B、 ab0 C、 b0 D、 0ba例 10 下列数轴画正确的是（ ）4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0 的相反数是 0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。概念剖析：“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数” ，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数” 。
7、很显然，数 a的相反数是 ，即 a与 互为相反数。要把它与倒数区分开。互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。在数轴上离某点的距离等于 的点有两个。如果数 a和数 b互为相反数，则 a+b=0； )0(1ab或 )0(1ab；求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“”即可；例如 的相反数是 ；例 11 下列说法正确的是（ ）A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数；B、如果两个数互为相反数，则它们的商为-1；C、如果 a+b=0，则数 和数 b互为相反数；D、互为相反数的两个数一定不相等；例 12
8、求出下列各数的相反数 4 1 a 23c例 13 化简下列各数的符号 )5.( )53( )( .0知识窗口：一个数前面加上“”号，该数就成了它的相反数；00A011B2210 1 2C0 122D一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。5、绝对值数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值。（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0 的绝对值是 0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母 a 表示如下：)0(a（3）两个负数比较大小，绝对值大的反
9、而小。概念剖析：“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离” ，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即 0a。 互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。例 14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )A、互为相反数 B、相等 C、积为 0 D、互为相反数或相等例 15 已知 ab0,试求 ab|的值。例 16 若| x|=-x，则 x 是_数；例 17 若x+3+y 2=0，则 205)yx（ = ；例 18 将下列各数从大到小排列起来0、 65、 43、 1.例 19 如果两个数 a和 b的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ）A
10、、 B、 C、 0ba D、不能确定二、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。例 20 计算下列各式 （ 3）（ 4）+7 ）（）（ 32105 3.5+ 2.5.8.4（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先
11、相加；把相加得整数的数先相加。例 21 计算下列各式 2)10(8)3(7 )25.0()31()841325.02、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。转化后它满足加法法则和运算律。例 22 计算： 5917例 23 月球表面的温度中午是 Co0，半夜是 o
12、153，中午比半夜高多少度？例 24 已知 m是 6 的相反数， n比 m的相反数小 5，求 n比 m大多少？3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab) c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac 。（3）倒数的定义：乘积是 1 的两个有理数互为倒数，即 ab=1，那么 a 和 b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。概念剖析：“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”多个有理数相乘时，积的符号确定规律：
13、多个有理数相乘，若有一个因数为 0，则积为 0；几个都不为 0 的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。例 25 计算下列各式： )87(5.271).( )1264()1 )947(5.1093945 54、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0 不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0。概念剖析：除法是乘法的逆运算，用法则“除
14、以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它满足乘法法则和运算律。倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即 a的倒数为 )(1；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即 mn的倒数为 ；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0 没有倒数。例 25 倒数是其本身的数有_；例 26 计算下列各式： )8(15.2 217)5( )6(485、有理数的乘方（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“ na”其中
15、 a 叫做底数，表示相同的因数，n 叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是 n 个 a 相乘，不是 n 乘以a，乘方的结果叫做幂。（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0 的任何非 0 次幂都是 0，1 的任何非 0 次幂都是 1， 偶数次幂是 1、 奇数次幂是 1；概念剖析：“ na” 所表示的意义是 n 个 a 相乘，不是 n 乘以 a； n)(。因为 表示 个 相乘，而 n)(表示 个 a的相反数；任何数的偶次幂都得非负数，即 02n。例 27 32的意义是_； 45的意义是_； )76(的意义是 _；例 28 当 3a， 2b时，则 2ba_
16、；例 29 计算： 0908)()(例 30 若 ,互为相反数， n是自然数，则（ ）A、 na2和 b互为相反数 B、 12a和 b互为相反数C、 和 互为相反数 D、 n和 互为相反数知识窗口：所有的奇数可以表示为 或 ；所有的偶数可以表示为 n2。6、有理数的混合运算（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再
17、算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。例 31 计算下列各式 631210 31243123例 31 已知 a的绝对值为 3、且 a满足 x的一元一次方程 0)()(2xaba，则 ba2的值为多少？7、科学记数法（1）把一个大于 10 的数记成 n10的形式，其中 是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位
18、，就说这个近似数精确到哪一位。（3）一个数，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位） ，所得的数字，叫做这个数的有效数字。概念剖析：I 把一个数 b用科学记数法表示为 na1，其中 10a， n为自然数，当 1时， n为这个数 b的整数位数减 1；例如：用科学记数法表示 04.18得 5108.，它满足 084.， 65 （ 4.8的整数部分有 6 位数） ；当 b时， 为 0；例如：用科学记数法表示 0得 0.；当 1时， n为由 变到 a的过程中小数点移动位数的相反数；科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万
19、或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。II 在让数字精确和数有效数字时应注意：在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为 0时，该 0 不能省略。如：将 089651.2精确到千分位，应为 09.2，不应为 09.2。其他分位也应注意。在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位） ，所得的数字” ； 科学记数法 na10的形式中，效数字只与 a有关，而与 n1无关。例 32 用科学记数法表示下列各数1893400000 800032000 0.000003578012 120
20、万人民币；例 33 3.256 有_位效数字，它们分别是_；0.032560 有_位效数字，它们分别是_； 810256.3有_位效数字，它们分别是_； 有_位效数字，它们分别是_；例 34 用四舍五入法完成下列各题 02954._（精确到千分位） ，所得结果有_位效数字，它们分别是_； _（精确到万分位） ，所得结果有_位效数字，它们分别是_； 3._（精确到个位）所得结果有_位效数字，它们分别是_；练习：一、选择题：1、下列说法正确的是（ ）A、非负有理数即是正有理数 B、0 表示不存在，无实际意义C、正整数和负整数统称为整数 D、整数和分数统称为有理数2、下列说法正确的是（ ）A、互为相
21、反数的两个数一定不相等 B、互为倒数的两个数一定不相等C、互为相反数的两个数的绝对值相等 D、互为倒数的两个数的绝对值相等3、绝对值最小的数是（ ）A、1 B、0 C、 1 D、不存在4、计算 )2(4所得的结果是（ ）A、0 B、32 C、 32 D、165、有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ）A、1 B、0 C、1 D、16、 （ 3）（ 4）+7 的计算结果是（ ）A、0 B、8 C、 14 D、 87、 （ 2）的相反数的倒数是（ ）A、 2 B、 C、2 D、 28、化简： a，则 是（ ）A、2 B、 2 C、2 或 2 D、以上都不对9、若 21yx，则 yx=（ ）A、 1
22、B、1 C、0 D、310、有理数 a，b 如图所示位置，则正确的是（ ）A、a+b0 B、ab0 C、b -a|b|二、填空题11、 （ 5）+（ 6 ）=_ ；（ 5）（ 6）=_。12、 （ 5）（ 6）=_ ；（ 5）6=_ 。13、 21_； 214=_。14、 73_； 93_。15、 20320)1(_；16、平方等于 64 的数是_；_的立方等于 6417、 75与它的倒数的积为_。18、若 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， m 的绝对值是 2，则 a+b=_；cd=_ ；m=_。19、如果 a 的相反数是 5，则 a=_，|a|=_，| a 3|=_ 。20、若|a
23、|=4，| b|=6，且 ab0，则 |a-b|=_。三、计算：（1） 22)(84 （2） 145)2(31（3） )2(3)(22 （4） )32(482（5） )3(6)2(1633 （6） 95)31(.四、某工厂计划每天生产彩电 100 台，但实际上一星期的产量如下所示：星期 一 二 三 四 五 六 日增减/辆 1 +3 2 +4 +7 5 10比计划的 100 台多的记为正数，比计划中的 100 台少的记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天的产量最多，那一天的产量最少？五、某工厂在上一星期的星期日生产了 100 台彩电，下表是本星期的生产情况：星期 一 二 三 四 五
24、六 日增减/辆 1 +3 2 +4 +7 5 10比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？第二章：整式的加减一、代数式的概念1、用字母表示数之后，可能用字母表示的有（1）具有一定数量的数；（2）一些变化的规律；（3）数的运算法则和运算定律；（4）数量关系；（5）数学公式。2、用字母表示数的意义用字母表示数是代数的一个重要特点，它的优点在于能简明、扼要、准确地把数和数之间的关系表示出来，化特殊为一般，深刻地揭示数量之间的联系，为我们学习数学和应用数学带来方便。3、用字母表示数学公式（1
25、）加法、乘法的运算律；（2）平面图形的面积公式；（3）平面图形的周长公式；（4）立体图形的体积公式。4、代数式的概念用字母表示数之后，出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们叫做代数式。概念剖析：运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、绝对值，大中小括号以及以后要学到的开方符号，但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号；单个的数字和字母也是代数式。判断一个式子是否是代数式，只要看看它能否满足代数式的概念即可。例 1、 下列的式子中那些是代数式 21yx na10 053x nmp 582x m37 27myx 57是代数式的有_（只填序号） ；例 2、下列各式中不
26、是代数式的是（ ）A、 B、0 C、 yx1 D、a+b= b+a5、书写代数式的规定（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“”代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“”号。（2）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。（3）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来。例 3、下列个代数式中 a214 cb 3n人 2 5 ba2. 书写规范的有_（只填序号） ；6、代数式的意义代数式的意义是把代数式的数量关系翻译成用文字叙述的数量关系，即为读代数式用语言把一个
27、代数式的数学意义表示出来时，要正确表达式中所含有代数运算以及它们运算顺序，还要注意语言的简练准确。例 4、说出下列代数式的意义 nm2 的意义是_； )(的意义是_； t的意义是 _；7、单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，其中数因数叫做单项式的系数，所有字母因数的指数之和叫做单项式的次数。单独的一个数或字母也叫做单项式。概念剖析：单项式是代数式中的一种特殊形式；要判断一个式子是否是单项式，只要看看它是否满足单项式的定义； 单独的一个数作为单项式时，其系数就是它本身，次数为 0；单独的一个字母作为单项式时，其系数就是 1，次数为它本身的次数；若一个单项式的次数为 m，我们就叫该单项式
28、m次单项式；单项式与单项式相等的条件：几个单项式完全相同。例 5、下列代数式中， ab 1 32x a1 83x ba 25a 178209x是单项式的有 （只填序号） ；例 6、代数式 bc， 2， 5， 12中，单项式的个数是（ ）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个例 7、单项式 21nymxn是关于 x、 y的 4 次单项式，其系数是 6，求 m和 n的值；例 8、若单项式 45与单项式 4相等，则 m ， n ；8、多项式几个多项式的和叫做多项式，其中、每个单项式都叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数叫做该多项式的次数，每个单项式的系数都是多项式的系数；
29、如果一个多项式有 项，且次数为 ，则我们称该多项式为 m次 n项式。概念剖析：多项式是代数式中的一种特殊形式；在多项式里，所有字母的指数都是非负数。多项式与多项式相等的条件：几个多项式的对应项完全相同。例 9、多项式 zyx253是由哪些项组成 ，系数是 ，次数 ； 21rab是由哪些项组成 ，系数是 ，次数 ；例 10、若 1)(235xyyxm是关于 x、 y的四次四项式，则 m ；例 11、若 )(23n是关于 、 的四次三项式，则 n ；若 2xyx是关于 、 y的多项式，且不含一次项则 ；例 12、当 取何值时，多项式 53y可化简为关于 的一次单项式；例 13、若多项式 nxym7
30、2与多项式 7324xy相等，则 m ， n ；9、整式 单项式和多项式统称整式二、代数式的计算1、同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，常数项也是同类项。概念剖析：判断同类项的标准有两条：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数也分别相同。即：“两相同，一关系；”两相同：所含字母相同、相同字母的指数也分别相同；一关系：字母与字母之间是乘积关系。例 14、指出多项式 xyyxyx2132823434 里的同类项它们分别是 ；例 15、若 7m与 n是同类项，则 m _, n _；例 16、当 n_时， 52yx 与 132n是同类项；2、合并同类项把多项式中的同类项合并
31、成一项叫做合并同类项，不是同类项不能合并。合并同类项法则：（1）系数相加，所得结果作为系数；（2）字母和字母的指数不变。例 17、把多项式 xx32176913合并同类项后得_；例 18、当 21a时，求多项式 362532aa的值；例 19、已知 nmyx与 同类项，求多项式 52746353222 nmn的的值；例 20、若单项式 nyx4与 ym的和仍是单项式，则 3 ；3、去括号去括号法则：（1）括号前是“+ ”号，把括号和它前面的“+ ”号去掉后，原括号里各项符号都不改变；（ 2）括号前是“ ”号，把括号和它前面的“ ”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例 21、将下列各式的括号
32、去掉 )1(3bca )1(3bca )72()7(23yxyx 72732yxyx 1bca例 22、化简 b254、整式的加减整式的加减实质上就是合并同类项，如果有括号的就先去括号，然后合并同类项概念剖析：整式加减运算的步骤：（1）去括号；（2）判断同类项；（3）合并同类项；例 23、求单项式 yx25， 2， 2xy， 24的和；求单项式 ， ， ， 的差；求 2a与 342a的和；求 5与 的差；已知 xA， 22xB， 232xC，求 CBA3；已知 21， 34， 45，求多项式)(的值。5、代数式的值的计算用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值。求代数式的值要注意的问题：（1）字母的数值必须确保代数式有意义；（2）在代入数值计算之前要把代数式化到最简；（3）字母的取值保证它本身表示的数量有意义；（4）字母的取值不同，代数式的值也不同。代数式的值的计算方法：从已知出发去求未知（向前看） ；从未知出发去找未知和已知关系（回头看） ；从已知和未知同时出发待相遇去找未知和已知关系（来回赶） ；例 24、已知 62xy， 923xy，求 22984yx的值；例 25、 ；已知 ba，求代数式 ba6的值；
