1、一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是 yf（x） ，不能把它写成 f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数 fg（x） 的表达式，求 f（x）的表达式时可以令
2、 tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以 x 代换x（或1/x） ，构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x） （或 f（1/x） ）即可求出 f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位
3、置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数 yfg（x） 的定义域的求解，应先由 yf （u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需
4、要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数 f：AB 中，集合 B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为 C，则 C 是 B 的子集；若 CB，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、待定系数法：在
5、已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf解：设 ，则baxf)()0(baxbx2342ba31a 或 2)(1)( xfxf 或 二、 配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成g()fx()fgx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。 例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf)0()fx解： ， )()1(f22xf三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，()fgx()fx要注意所换元的定义域的变化。例 3
6、已知 ，求xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2txxf)(,1)(212ttt)(xfx)22)0(四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(M)(,yMx3,2则 ，解得： ，32yxyx64点 在 上 ),(xM)(xgy2把 代入得：64)()(2xy整理得 76)(2xxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)
7、(xfxff 满 足 )(f解 fxf)(显然 将 换成 ，得：,0x1 fxf)(21解 联立的方程组，得： xf3)(例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)(f)(g,1)(xgxf )(xgf和解 为偶函数， 为奇函数，xfx)(),(gf又 ，1)xgxf用 替换 得： x1)(xgxf即 1)(gf解 联立的方程组，得， 1)(2xf x2)(六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求1)0(f )12()(yxfyxf )(xf解 对于任意实数 x、y，等式 恒成立，12)(ff不妨令 ，则有 )(0) 2yyyy再令 得函数解析式为：xy)(2xf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,，求abbfa)( )(xf解 ，f,)(，不妨令 ，得： ，1,x xfxf)1()(又 1)()1(ff故分别令式中的 得：,2xn(2)3,()1),ffnn 将上述各式相加得： ， nf32)1(32)(f Nxxf,1)(2
