1、圆知识点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等
2、的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；r2、直线与圆相切 有一个交点；d3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推
3、出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OAB弧 弧五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF六、圆周角定理rddCBAOOE DCBAOC DA BFEDC BAOCBAO1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBC
4、AB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角D C推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90C 是直径90AB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，CO 是直角三角形或 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。七、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接
5、四边形ABCD 180180E八、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。九、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O十、圆内正多边形的
6、计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：ABCRtBOD :1:32ODBD CBAOCB AOCB AOEDCBANM AOPBAOECBA DODCB AO；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtOAE:1:2AEO（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .tB:1:32B十一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 236Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面nRS积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图(选学)=2S侧表 底 2rh（2）圆锥侧面展开图(选学)（1） =S
7、侧表 底 2Rr十二、圆与圆的位置关系(选学)外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；内含（图 5） 无交点 ；r周1rRd周3rRdBAOS lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBAB1RrC BAO周4rRd周5rRd周2rRd圆练 习一.选择题1在O 中，弦 ABOF OE=OF OEOF 无法确定2如图,AB 是O 的直径，CD 是弦，若 AB=10 cm,CD=8 cm ，则 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为( )12 cm 10 cm 8 cm 6 cm3下列命题正确的是（ ）相等的圆心角所对
8、的弧是等弧 等圆周角对等弧任何一个三角形只有一个外接圆 过任意三点可以确定一个圆4如图，圆内接四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 E 点，且 BC=DC,则图中共有相似三角形（ ）2 对 4 对 6 对 8 对5 如图，弦 ABCD,E 为弧 CD 上一点，AE 平分 ，则图中与 相等（不包括 ）的角共CBAECAEC有（ ）3 个 4 个 5 个 6 个6两个扇形的面积相等，其圆心角分别为 、 ，且 ，则两个扇形的弧长之比 （ ）1212t:1:2 2:1 4:1 1: 27一段铁路弯成圆弧形，圆弧的半径是 2 km，一列火车以每小时 28 km 的速度行驶，经过 10 s 通过弯道，那
9、么弯道所对的圆心角的度数为（ ）4.4 44 2.2 228在半径为 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ） 2 3 4339. 如图 4，AD 、 BC 是O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OCDO 的路线匀速运动，设APB=y（单位：度） ，那么 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是（ ）二、填空题1若三角形的三条边长分别为 5,12,13，则这个三角形外接圆的半径为_2一条弦把圆分成 2:3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为_3如图,A、B、C 是O 上顺次三点，若 ，则 _OAB4CB4如图ABC 是圆内接三角形，AB 是直径，BC=4 cm,A
10、=30,则 AC=_.5如图， =100，则圆周角 =_.AOBACB6已知扇形周长为 14cm,面积为 12 cm2，则扇形的半径为_cm.7如图，以正方形 ABCD 的边 AD、BC、CD 为直径画半圆，阴影部分的面积记为 m，空白部分的面积记为n，则 m 与 n 的关系为_8若O 是ABC 的外接圆，ODBC 于 D,且 ,则 =_.OD48BAC9. 如图，正方形 ABCD 边长为 1，以 AB 为直径作半圆，点 P 是 CD 中点，BP 与半圆交于点 Q，连结DQ给出如下结论：DQ1； ；S PDQ ；cos ADQ= 其中正确结论是 （填写序号）三、解答题1如图 27-13，某排水
11、管模截面，已知原有积水的水平面宽 CD=0.8 m 时最大水深 0.2 m,当水面上升 0.2 m 时水面宽多少？ 2已知圆环内直径为 a cm ，外直径为 b cm ,将 50 个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么，这条锁链拉直后的长度为多少？3如图，一只狗用皮带系在 1010 的正方形狗窝的一角上，皮带长为 14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？CP DOBA E4. 如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，AE 平分BAD交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 A、E 两点, 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F（1）求证：BC 与O 相切；（
12、2）当BAC=120时，求EFG 的度数5. 如图，O 的半径为 1，点 P 是O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是弧 APB 上任一点（与端点A、B 不重合） ，DEAB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作D，分别过点 A、B 作D 的切线，两条切线相交于点 C（1）求弦 AB 的长；（2）判断ACB 是否为定值，若是，求出ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC 的面积为 S，若 4 ，求ABC 的周长.2E36. 如图，已知 A、B 是 O 与 x 轴的两个交点，O 的半径为 1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线 PA、PB 分别交直线 x=2 于 C、D 两点，E 为线段 CD 的中点（1）判断直线 PE 与 O 的位置关系并说明理由；（2）求线段 CD 长的最小值；（3）若 E 点的纵坐标为 m，则 m 的范围为 BACDEGO F
