1、学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 1 -教师 訚威 学生 严斯文 上课时间学科 数学 年级 高三 教材版本课题 压轴题专题练习放缩法重难点 数列与函数的放缩法的训练教学过程证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩 例 1.(1)求 的值; (2)求证: .nk1243512nk奇巧积累:(1) (2) 1214
2、22nn )1()1(21 nnCn(3) )(!)(!1 rrrCTrr(4) 253)(n(5) (6) nn212nn1(7) (8) )()( nn2)3(1)2(3(9) kknkkn 11,1(10) (11)!)(!)( 212)2( nnn(11) )(1)1()(12)()12( nnnn(12) 23 nnn(13) 3212)1(3)1(1 n(14) (15) !2!kk )()(15) 1)(222 jijijji学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 2 -例 2.(1)求证: )2(167)2(15312 nn(2)求证: (3)求证:464 12642)(531
3、43n(4) 求证： )(31)(n例 3.求证: 35194)12(62nn例 4.(2008 年全国一卷)设函数 .数列 满足 . .()lnfxna10()naf设 ，整数 .证明: .1(ba， 1lnabk 1k学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 3 -例 5.已知 ,求证: .mmnSxNn321, 1)(1mnS例 6.已知 , ,求证: .na24naT21 23321nT例 7.已知 , ,求证:1x)2(1Zkn *)(121144532 Nnxxn二、函数放缩例 8.求证： .)(653ln4l32ln*Nn学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 4 -例 9.求证:
4、(1) )2(1ln3l2n, 2n例 10.求证: nn12)1l(312例 11.求证: 和 .en)!1(3)!21( en)31(8)9(2例 12.求证: 32)1()321() ne例 13.证明: )1*,(4)1ln543l2nnN学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 5 -例 14. 已知 证明 .121,().nnaa2ne例 15.(2008 年福州市质检)已知函数 若.ln)(xf ).(2ln)(:,0bfafbafba证 明例 16.(2008 年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.)(xf)0)(xf0(I)求证：函数 上是增函数；
5、 (II)当 ；,)(在xg )(:,0212121 xfx证 明时(III)已知不等式 时恒成立，1ln且在求证： ).(2)(l)(413l2n *22 Nn三、分式放缩姐妹不等式: 和)0,(mab)0,(mba记忆口诀”小者小,大者大”解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号 ,反之.例 19. 姐妹不等式: 和 也可以表示成为12)()513(n 12)(61)4(n和2)1(5364n 64学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 6 -例 20.证明: .13)21()741)( n四、分类放缩例 21.求证: 21321n例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编 ) 在
6、平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线xoynA（ 0）上的点列 满足 ，直线 在 x 轴上的截距为 .点 的横坐标为 ,xy2nBnOAn1nBAnaBb.Nn例 23.(2007 年泉州市高三质检 ) 已知函数 ，若 的定义域为1，0 ，值域),1()(2Rcbxf(xf也为1，0. 若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数 A，使得对nb(*3NnfnnT于任意正整数 都有 ？并证明你的结论。AT学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 7 -例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 ,nxy3,0nD设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当
7、 时,求证: . nDnanaS2211 36171232naa五、迭代放缩例 25. 已知 ,求证: 当 时,141xn2nnix112|例 26. 设 ,求证: 对任意的正整数 k,若 kn 恒有:| Sn+kS n|nnS2!sii!1s1n六、借助数列递推关系例 27.求证: 12642)(5314231 n例 28. 求证: 12642)(5314231 n学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 8 -例 29. 若 ,求证:1,1na)1(2na解析: nnn 12所以就有 21212121 aan七、分类讨论例 30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，有nanS.1,)(2nan 4m8715ma八、线性规划型放缩例 31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。21()xfxR3()afxba九、均值不等式放缩例 32.设 求证.)1(321nSn .2)1(nS例 33.已知函数 ，若 ，且 在0，1上的最小值为 ，求证：bxaf21)(54)1(f)(xf 21.)2(1nf学大教育深圳分公司宝安校区个性化教案- 9 -签字
