1、12018 二次函数压轴题题型归纳一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式： 22BABAxy2、中点坐标：线段 的中点 的坐标为：BCBAy，直线 （ ）与 （ ）的位置关系：1bxky02bxky0（1）两直线平行 且 （2）两直线相交11 21k（3）两直线重合 且 （4）两直线垂直21k21 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x的一元二次方程 有两个整数根， 且 为整数，求 的值。0122 m
2、xx5mm4、二次函数与 轴的交点为整数点问题。 （方法同上）例：若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点，且 为正整数，试确定32my此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 的方程 （ 为实数） ，求证：无论 为何值，方程总有x23(1)230xmm一个固定的根。解：当 时， ；0m当 时， ， ， 、 ；032x21x32112x综上所述：无论 为何值，方程总有一个固定的根是 1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 （ 是常数） ，求证：不论 为何值，该抛物线总经过一个固22mxy m定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形
3、为关于 的方程 ；xxy12 ，解得： ； 抛物线总经过一个固定的点（1，1） 。012xy x（题目要求等价于：关于 的方程 不论 为何值，方程恒成立）mxmy22小结：关于 的方程 有无数解xba0 ba7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线 、 ，点 在 上，分别在 、 上确定两点 、 ，使得 之和最1l2A2l1l2MNMNA小。（2）如图，直线 、 相交，两个固定点 、 ，分别在 、 上确定两点 、 ，使得1l2AB1l2之和最小。ANMB8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如上图，S PAB =1/2 PMx=1
4、/2 ANy9、函数的交点问题：二次函数（ ）与一次函数（ ）cbxay 2 hkxy（1）解方程组 可求出两个图象交点的坐标。hkxycba 2（2）解方程组 即 ，通过 可判断两个图象的交点的个数 202 hcxk有两个交点 仅有一个交点 没有交点0010、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形” 、 “梯形” 、 “相似三角形” 、 “直角三角形” 、 “等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形跟平行有关的图形 平移 、2
5、121kl 21xy平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAy直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAx等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等3【例题精讲】一 基础构图：y= （以下几种分类的函数解析式就是这个）32x和最小，差最大 1 在对称轴上找一点 P，使得 PB+PC 的和最小，求出 P 点坐标2 在对称轴上找一点 P，使得 PB-PC 的差最大，求出 P 点坐标 讨论直角三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 为直角三角形，AC求出
6、P 坐标或者在抛物线上求点 P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 讨论等腰三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 为等腰三角形，求出 P 坐标AC 讨论平行四边形 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 B， A， F， E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标O xyABCDO xyABCDO xyABCD4二 综合题型例 1 (中考变式）如图，抛物线 cbxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交 Y 轴于 C(1)求该抛物线的解析式与ABC 的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使 MBC 是以BC
7、M 为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3)若 E 为抛物线 B、 C 两点间图象上的一个动点(不与 A、B 重合)，过 E 作 EF 与 X 轴垂直 ，交BC 于 F，设 E 点横坐标为 x.EF 的长度为 L，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出 X 的取值范围？当 E 点运动到什么位置时，线段 EF 的值最大，并求此时 E 点的坐标？(4)在（5）的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H。当 E 点运动到什么位置时,以点E、F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点 E 运动到什么位置时，使三角形 BCE 的面积最大？5例 2
8、 考点： 关于面积最值 如图，在平面直角坐标系中，点 A、 C 的坐标分别为( 1， 0)、(0， )，点 B 在 x 轴上已知3某二次函数的图象经过 A、 B、 C 三点，且它的对称轴为直线 x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点 P 与 B、 C 不重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长；（3）求 PBC 面积的最大值，并求此时点 P 的坐标例 3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线 y x 2 bx c 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、
9、B，点 A 的坐标为21（2，0） ，点 C 的坐标为（0，1） （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由DBCO AyxEBCO A备用图yxyxBA FPx1COyxBA FPx1CO6例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（ ）(A）2个 （B）4个 （C） 6个（D
10、）7个 已知：如图一次函数 y x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y x 2 212 bx c 的图象与一次函数 y x1 的图象交于 B、 C 两点，与 x 轴交于 D、 E 两点且 D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由例 5 考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y ax 2 x c（ a0）与 x 轴交于点 A（ 2，0） ，点B（6，0） ，与 y 轴交于点 C （
11、1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，求出直线 AD 的解析式；（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P， x 轴上有一动点Q是否存在以 A、 M、 P、 Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由OAByCxD E2OAByCxD E2BAyOCx7综合练习：1、 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴24yaxac交于点 C，点 A 的坐标为(1, 0)， OB OC，抛物线的顶点为 D
12、。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足 APB ACB，求点 P 的坐标；(3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为 ，若 ，求点 Q 的A2BQ坐 标和此时 的面积。2、 在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图像与 轴交于点 ，与xOy2+yaxcy3 0，C轴交于 A、 B 两点，点 B 的坐标为 。x 0 3，（1） 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；（2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1 ：2 的两部分，求出此时点 的坐标；（3） 点 P 是第二象限内抛物线上
13、的一动点，问：点 P 在何处时 的面积最大？最大面CPB积是多少？并求出此时点 P 的坐标。83、 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，顶点为 ，xOyxmy2AB且对称轴与 轴交于点 。xC（1）求点 的坐标（用含 的代数式表示） ；Bm（2） 为 中点，直线 交 轴于 ，若 （0，2） ，求抛物线的解析式；DOADE（3）在（2）的条件下，点 在直线 上，且使得 的周长最小， 在抛物线上， 在MBAMCPQ直线 上，若以 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标。CQP、4、 已知关于 的方程 。x2(1)(4)30mx（1） 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范
14、围；m（2） 若正整数 满足 ，设二次函数 的图象与 轴交于82(1)(4)3yxmx两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到AB、一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 与此图象恰好有三个公共k点时，求出 的值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可） 。k5 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A（4，0）和9B（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QEAC，交 BC 于点 E，连接 CQ当CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标；（3）平行于 x
15、轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（2，0） 问是否有直线 l，使ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说 明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数 y x 2( m1) x m2 的图象与 x 轴相交于 A（ x1，0） ， B（ x2，0）两点，且 x1 x2（1）若 x1x20，且 m 为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若 x11， x21，求 m 的取值范围；（3）是否存在实数 m，使得过 A、 B 两点的圆与 y 轴相切于点 C（0，2） ，若
16、存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点 D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于 M、 N 两点，且 ，求该直12 MDDN 13线的表达式10题型二、抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数 y= x 2+mx+m-5，（1）求证：不论 m 取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（2）求当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例 1 已知抛物线 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m5，则22(1)0yxmx整数 m 的值为_例 2已知二次函数 y x 2 2mx 4m 8（1）当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；（2）以抛物线 y x 2 2mx 4m 8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正 （ M， N 两A点在拋物线上） ，请问： AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线 y x 2 2mx 4m 8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值AO xy
