1、4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 1 of 21例题精讲本讲主要学习三大图形处理方法：1理解掌握图形的分割；2理解掌握图形的拼合；3理解图形的剪拼本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试通 过本 讲知识的学习， 让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增 强学生的 动手操作能力把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做 图形的分割反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的 图形，就叫做 图形的拼合将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形， 则 叫做图形的剪拼我们在图形的分割、拼合和剪拼的 过程中，都要 结合所提供的 图形特点来思
2、考如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特 别注意每条 边的长度，把相等的 边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的如果是剪拼图形，要抓住“ 剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和 图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法板块一 图形的分割【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BAO【解析】 怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是
3、图形的分割问题按照 规定的要求合理分割图形，是很 讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直 线都可以把长方形平均分割成两图形的分割与拼接4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 2 of 21块，根据这点给出如下分法(如右 图)： 做长方形的两条对角线，设 交点为 O 过 点任作一条直线 ，直 线 将长方形平均分割成两 块OAB可见用线段平分长方形的分法是无穷多的【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条 【解析】 无数条任何 过六边 形中心的直
4、线均符合要求【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的 4 个小三角形，有许多种分法请你画出 4 种不同的分法【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 4 个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等而要得到这 4 个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条 边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法又因为，所以，如果我 们把每一个小三角形的面积看做 1，那么 就可以视为把三角形的4 1 2 面积直接分成 4 等份，即分成 4 个面积为 1 的小三角形；而 可以视为先把原三角形分成两等份，2再把每一份分别分成两等份根据前面
5、的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法AB C CBAAB C【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的 2 个小三角形，有许多种分法请你画出 3 种不同的分法AB CC BACBA【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 2 个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等而要得到这 2 个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条 边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了根据上面的分析，可得如图所示的三种分法【例 3】 怎样把一个等边三角形分别分成 8 块和 9 块形状、大小都一样的三角形【解析】 分成 8 块的方法是
6、：先取各边的中点并把它们连接起来，得到 4 个大小、形状相同的三角形， 然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的 图形分成 9 块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上 图所示的符合条件的图形【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 3 of 21321D CBA1FE221D CBA【解析】 直角梯形的上底为 1，下底 为 2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成 1 和 2， 边长正AD好为 3，所以 边分成两段，找到 的三等分点 ，现在， ， ， ，所以A
7、AEDAEBFE还要找到 的中点 ，连接 ，就把梯形 分成完全相同的两部分如右上 图BFEB【例 5】 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块AO【解析】 用连对角线的办法找出这块长方形地的中心 O 和正方形水池的中心 A过 O、A 画一条直线， 这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)AO【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样除了剪正方形外，你还有别的方法吗？2060402020406020【 解 析 】 先 把 图 形 分 成 相 等 的 两 块 ，每 一 块 中 再 分 成 相 等 的 两 份 ，这
8、样 就 不 难 分 成 四 块 了 ，如 右 上 图 4【例 7】 下图是一个 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方3格的完整【解析】 分成的两块每块有 (个)小格，并且 这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从126对称线入手，介 绍一种分割技巧 染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 4 of 2156231 1 44326543261 1 5562346 2 2 65 5114
9、3 3 46 2 3 45 5114 3 2 562341 1 554326【巩固】右图是一个 的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整【解析】 因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同方格 纸一共有 (个)小格，所以分成416的两块每块有 (个)小格，并且 这两块要关于中心点 对称，大小和形状完全一样，应用染色法，1628从中心点的一侧入手染色，逐步推进 (建议教师同时呈现六幅空的 格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：3251673265418 8 74332817546865142 78 3122764 5856371443221
10、564787635 18327714538685241667811 54632347582【例 8】 下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分【解析】 要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份考虑先把阴影部分分成 12 个小正方形再分成四份，这样每份正好有 3 个小正方形再看形状，三个小正方形只能排成 “”形或者“”形答案如下图【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分如果分三部分呢？4-
11、1-5 图形的分割与拼接 题库 page 5 of 21【解析】 从形状，面 积两方面 综合考虑，很容易就能得到答案答案如右上 图【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形你能把它分割成 4 个形状相同、面积相等的梯形吗？【 解 析 】 这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面 积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角 形 合 成要 求 的 梯 形 ，这 种 类 型 的 题 目 可 以 从 中 点 入 手 ，找 到 每 个 正
12、 三 角 形 的 中 点 并 连 接 ，如 右 上 图 【例 9】 下图是由五个正方形组成的图形把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【解析】 如果不考虑分成的四个图形的形状，只考 虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个 图形的面积应 是 1 个多正方形我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个 这样的小正方形根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图【例 10】 已知左下图是由同样大小的 5 个正方形组成的试将图形分割成 4 块形状、大小都一样的图形【解析】 已知图形是由同样大小
13、的 5 个正方形组成的，要分成 4 块同样大小的图形，则每块图形是 个正方54形由此想到，若把每个正方形都分成 4 等份， 则 分割成的每一块中应包含 5 份再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)【巩固】把右图剪成形状、大小相等的 8 个小图形，怎么剪？作出分出的小图形4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 6 of 21【解析】 总格数为 12，用总格数除以 8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图【例 11】 下图是由 18 个小正方形组成的图形，请你把它分成 6 个完全相同的图形【解析】 通过计算，186=3，说明基本形状是由三个小正
14、方形组成，三个正方形有两种形式：与 ，通过观察，上面的图形具有对 称性，不可能分成 6 个 ，再由 6 结合染色法，如下图666555 444333222111【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由 题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各 边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示【总结】本题若死守三角形面积等于底 高的一半， 则无以下手，
15、引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积 相等的四部分， 问题 即可解决【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个【解析】 图中一共有 18 个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有： (块)，而且分割成1836大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是 ，而且上面的部分是对称的，但是只有 5 块，需O要对称的再加上一块，再由 图 形的特点，可以判断应分为右下图的三部分 4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 7 of 21O【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的 4 块，使每一块内都含有“奥数读本”
16、这四个字中的一个，该怎么剪？【解析】 图中“奥数” 与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它 们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因 为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的 4 块，因为长方形是 的，所以分割后64的每一块都有 6 小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示 答案不唯一【例 15】 (2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的 块，4使每一块里面都有“春蕾杯赛” 个字4 13【解析】 如下图所示：1答案不唯一【例 16】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成
17、就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字应怎样分？4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 8 of 21学习思考学习思考学习思考考思习学54321【解析】 看到这道题目，我们 想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由 4 个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块， 这就控制了搜索的范 围根据原 题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必 须排除的，例如，如果把 图与原题右下角 的正方形重叠，其中2“考”字出现了两次，不符合 题意，因此， 图可以先排除掉 现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑
18、如固定右上角写有“ 考”的小正方形来分析，只有下列 4 种可能出现的情况：考思习学考思学 习学 考思习学 考思习学习思 考考思习学考 思习学考思习学【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字 OO图 1 图 2OO【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它 们之间切开(图 1)，因此，首先要在它 们之间划出切分线因为要将这个正方形切开成两 块形状和大小都一样的 图形，所以其中一 块绕中心点旋转 必180定与另一块重合要是把切分线也绕中心点旋转 180就可得到一些新的切分线(图 2)这就为我们解决问题提供了线索，本 题
19、的两种解法如上 图所示【巩固】如下图所示的正方形是由 36 个小正方格组成的如图那样放着 4 颗黑子，4 颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子试问如何切割？4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 9 of 21【解析】 首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转 、 、 之后，得到一些新的切分线，同9018270时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一 块面积应该是 ，即含有 9 个小364正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转 、 、 便得到其他三块，如右上图【例 18】 如图，甲、乙是两个大小一样的正方形要求把每一
20、个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个甲 乙【解析】 一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将 这块绕着正方形的中心点分 别旋转 、 、 就可以得到另外三块又因为9018270这个正方形面积为 36 平方单位，所以分成的每一块的面积 都是 9 平方单位即每一 块都由 9 个小正方格组成另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考 虑将两个正方形重叠在一起，如下图所示， 为便于区别，将其中一组的“”改写成“”按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每
21、块都有一个 “”和“”图中有相同符号的“” 挨在一起的从中 间把它们切开，在它们中间划上截线并将这些截线绕中心点旋转 、 、 得到另外三段截线如下 图利用它们设想出划分线9018270设想分 块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里 层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转 后得到另一方格分入到另一小块中，也作上 记号180(横线阴影)，如图 对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“”和一个“”每一块都有 9 个方格组成，不能断开下 图是分解了的分块过程示意图4-1-5 图形的分割与拼接 题库 page 10 of
22、21注意到斜 线 阴影部分已经有了一个“” 和一个“ ”那么左下角包含“” 的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分空白部分是另外两块 下就是最后分得的结果【例 19】 正三角形 的面积是 1 平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个ABC六边形(如右图)，求六边形的面积CBA【解析】 采用分割法， 过 、 、 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面 积都相同，所以六边形面积等于 13 平方米 【巩固】正方形 的面积是 1 平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形ABCD(如图)，求大正方形的面积D CBA【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以 观察出，大正方形有 9 个小正方形组成，所以，大正方形的面积是： (平方米)19【巩固】正六边形 的面积是 1 平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下ABCDEF图的图形，求这个图形的面积FE DCBAFE DCBA【解析】 采用分割法， 连接正六 边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有 12 个小三角形，原
