1、超越函数综合题1、讨论函数 在区间 上的单调性。2()(0)1axf(1,)解：设 = ，2121,axff则 1212()axx1212,(,),xx且 212210,()0,x于是当 当0();aff时 12);afxf时故当 ，函数在 上是增函数；时 ,当 ，函数在 为减函数。时 (1)2、设函数 xfxfx 2)(,2)| 求 使 成立的 取值范围。解：由于 y是增函数， )2f等价于 3|1|2.（1 ）当 x时， |1|x，式恒成立；（2 ）当 时， |1|x，式化为 x，即 14x；（3 ）当 x时， |2x，式无解；综上， 的取值范围是 3,4。3、设关于 的方程 的两根为 ，
2、函数 。x022ax)(,14)(2xaf（1 ）求 的值；)(f（2 ）证明 是 上的增函数；x,（3 ）试确定 为何值时， 在区间 上的最大值与最小值之差最小。)(xf,解：（1） .4)(,168,168)( 22 fafaf（2 ）定义法；略（3 ）函数 在 上最大值 ，最小值 ，)(xf, 0)(f 4)(,0)(ff当且仅当 时， 取最小值 4，此时2.2)(,0fa4、已知函数 1,0)(logaxax为常数） 。（1）求函数 )(f的定义域；（2）若 ，试根据单调性定义确定函数 )(xf的单调性；a（3 ）若函数 是增函数，求 的取值范围。)(xfya解：（1）由 x得0 22
3、1ax )(f的定义域是 ),1(2a。,0xa（2 ）若 ，则 log)(2f设 421x，则 01)()()()( 21121 xxx)(21ff故 (f为增函数。（3）设 12121 xaax则 01)()()()()( 2121212121 xaxa21x )(f是增函数， )(log)(log21xaxa 联立、知 ， 。,5、已知函数 2()(0)fxbx，且函数 ()fxg与 的图象关于直线 yx对称，又(3)2,(1)0fg。（1 ）求 fx的值域；（2 ）是否存在实数 m，使命题 2:()(34)pfmf和 13:()4mqg满足复合命题pq且 为真命题？若存在，求出 m的范
4、围；若不存在，说明理由。解：（1）由 (3)2,(0)1,1ffab得 ， 于是 2()1(0)fxx，由 21()fxx，此函数在 ,是单调减函数，从而 的值域为 ,；（2 ）假定存在的实数 m满足题设，即 2:()(34)pfmf和 13()4mg都成立又 2331()()44f， 3)4g， 12g，由 fx的值域为 0,，则 x的定义域为 (0,， 已证 ()fx在 0,)上是减函数，则()g在(0,1也是减函数，由减函数的定义得23410m解得， 3m且 2， 因此存在实数 m使得命题： p且 q为真命题，且 m的取值范围为 4,2)(,3。6、已知函数 4()log(1)xfk()
5、R是偶函数。（1 ）求 k的值；（2 ）设 4()l(2)3xgxa，若函数 ()fx与 g的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围。解：（1）由函数 ()fx是偶函数可知： ()fx，44log1log(1xkk4l2x即 对一切 R恒成立， 12k；（2 ）函数 ()f与 gx的图象有且只有一个公共点，即方程441log()log(2)3x xa有且只有一个实根，化简得：方程 1423xxa有且只有一个实根； 令 20xt，则方程 2()0t有且只有一个正根， 314at，不合题意； 34a或 ， 若 3142at，不合题意；若 32t；一个正根与一个负根，即 10a；综上：实数 a的
6、取值范围是 (1,)。7、已知函数 。2()log1xf（1 ）求证：函数 在 内单调递增；(,)（2）若 ，且关于 的方程 在 上有解，求2()l0xgx()()gmfx1,2的取值范围。m解：（1）证明：任取 ，则12x，112212()logloglogxxxfxf ， ，1212,0xx1 12 20,l0xx，即函数 在 内单调递增。12()ff()f,)（2 ）解法 1：由 得()gxm(gxf22log1log1xx， 当 时，22lol1xx， 3,5135x x的取值范围是 。 m22log,l解法 2：解方程 ，得 ，22l1l1xxm21logm，解得 ， 2112,1l
7、ogmx2213loglog35m的取值范围是 。m22l,l358、已知函数 是奇函数。1()logaxfx(0,1)a（1 ）求实数 的值；（2 ）判断函数 在 上的单调性，并给出证明；()fx1,)（3 ）当 时，函数 的值域是 ，求实数 与 的值；,2na(fx(1,)an（4 ）设函数 ，当 时，存在最大实数 ，使得285fxgxa8t1,xt时，不等式 恒成立，试确定 与 之间的关系。5xt解：（1） 。 m（2 ）由（1 ）及题设知： ，设 ，1()logaxf121xt x当 时， ，12x2112121()t2t当 时， ，即 ；a12loglaatt2()fxf当 时， 在
8、 上是减函数；同理当 时， 在 上是增函数；()fx,)0a()fx1,)（3 ）由题设知：函数 的定义域为 ， f ),1(),(当 时，有 ，由（1 ）及（2）题设知： 在为增函数，由其值域21na0a()fx为 知 ，无解； 当 时，有 ，由（1、2 ）题设知：(1,)loganna3在 为减函数，由其值域为 知， ，得 ，()fx,2)na(1,)1log3a3a；1（4 ）由（1 ）题设知：，2 2 241681583()3fxgxaaaxaxa则函数 的对称轴 ， ，函数 在 上()y40,()ygx1,t单调减， ， 是最大实数使得 ，恒有 成立，(1)gtxgt1,xt52(1
9、)35, 83()8)0aatat，即 。28tt2t9、已知函数 为偶函数，且23()()mfxZ(3)5.f（1 ）求 的值，并确定 的解析式；)f（2 ）若 ， 在 上为增函数，求实数 的取值范围。(log)(axxa)10(a且 ,2a解：（1）由 2233(3)5,5,mmf知，又2()1,0,15m即 ,0,1Zm当 为奇函数，不合题意，舍去；230()mfxx时 ，当 为偶函数，满足题设，故 。22时 ， 2,fx（2 ） 令 ，若 在其定义域内单调()log().axx(,uxa01logayu则递减，要使 上单调递增，则需 上递减，且 ，2,3在 2(),3x在 ()0x，即
10、 ，若 在其定义域内单调递增，要使09)3(au1,logaayu则2,gx在上单调递增，则需 上递增，且 ， ，即2(),3uxa在 ()0ux024)(au； 21a综上所述，实数 的取值范围是 。 a21a10、对定义在 0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 ()fx称为 G函数，对任意的,x，总有 ()fx； 当 12120,xx时，总有1212()f成立；已知函数 ()g与 ()xhb是定义在 0,1上的函数。（1 ）试问函数 ()gx是否为 G函数？并说明理由；（2 ）若函数 h是 函数，求实数 b组成的集合。解：（1）当 0,1x时，总有 2gx0()，满足 ，当 22,时，
11、 221211112xxg()，满足；（2 ） xhb0()(,)为增函数， h()0b；由 1212h)，得 1212xxxb，即 11x2()； 因为 0,xx， 所以 1， 2， 1与 不同时等于 111()11x02()，当 12时， 11xmax()b， 综合， b。11、已知函数 。xf2（1 ）将 的图象向右平移两个单位，得到函数 ，求函数 的解析)(xy )(xgy)(xgy式；（2 ）函数 与函数 的图象关于直线 对称，求函数 的解析式；)(xhy)(xgy1y)(xhy（3 ）设 ，已知 的最小值是 且 ，求实数 的取值)(1)(xfaxF)(xFm72a范围。解：（1）
12、;2xaxfg（2 ）设 的图象上一点 ，点 关于 的对称点为 ，hyyP,y,1yxQ2,由点 在 的图象上，所以 ，Qxgy yax22于是 即,2xa;h（3 ） ；2)14(21)(1)( xxafxF设 ，则 ；xt24ta问题转化为： ，对 恒成立，7214ta0t即： ，对 恒成立。 （ *）072t故必有 （否则，若 ，则关于 的二次函数04a4at开口向下，当 充分大时，必有 ；而当 时，1)(2ttu 0tu04a显然不能保证（* ）成立） ，此时，由于二次函数 的对称轴方174)(2atu程为 ，0427at所以，问题等价于 ，即 ，解之得： ；t 014704a21a此
13、时， ，故 在 取得最小值014,a2)(txFat4)(满足条件。22m点评：紧扣二次函数的顶点式 对称轴、最值、判别式显合力。,422abcxay12、对于在区间 n,上有意义的两个函数 f与 ，如果对任意的 ，均有)(xgnmx,1)(xgf，则称 xf与 在 nm,上是接近的，否则称 xf与 在 nm,上)(g )(g是非接近的，现有两个函数 )3lo1ax与 101lo(2 axfa，给定区间3,2a。（1 ）若 )(1xf与 2f在给定区间 3,2a上都有意义，求实数 的取值范围；a（2 ）讨论 与 )(在给定区间 上是否是接近的。解：（1）两个函数 )(log1xfa与 )1,0
14、(1log(2 axf 在给定的一个区间3,2a有意义，函数 xy3在给定区间 3,上单调递增，函数xy1在给定区间 3,2a上恒为正数，故有意义，当且仅当 103)2(10aa；（2 ）构造函数 )(log)()(21 xaxffxF，对于函数 )3(axt来讲， 显然其在 2,(a上单调递减，在 ),上单调递增，且 tyalog在其定义域内一定是减函数。由于 10，得 20a， 所以原函数在区间 3,2内单调递减，只需保证1|)23(log|)(| 42aaFaa1)23(4当 15790时， )(1xf与 2f在区间 ,上是接近的；当 12579a时， )(1xf与 2f在区间 3,2a上是非接近的。
