1、- 1 -北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1 ） 为虚数单位，复数 的虚部是i1iA B C D . 221i21i2【答案】A，所以虚部是 ，选 A.11()iiii（2 ）已知集合 ， ，则23Mxlg(2)0NxMNA. B. C. D. (,)(,),11,3)【答案】D，所以lg(2)02Nxxx，
2、选 D.13M（3 ）已知向量 ， .若 ，则实数 的,46,3OAB,1OCm/ABOCm值为 A B C D173535【答案】A,因为 ，所以 ，解得(3)OA/O(1)20m，选 A.3m（4 ）在极坐标系中，直线 与曲线 相交于 两点, 为极点，则1cos2cosABO的大小为ABA B C D336【答案】C直线 对应的直角方程为 ，由 得 ，1cos22xcos2cos- 2 -即 ，即 。所以圆心为 ，半径为 1，所以 ，2xy2(1)xy(1,0)C3OCA所以 ，选 C.3AOBC（5 ）在下列命题中， “ ”是“ ”的充要条件；2sin1 的展开式中的常数项为 ；341(
3、)x2设随机变量 ,若 ，则 (01)N()Pp1(0)2Pp其中所有正确命题的序号是A BC D【答案】C由 ，得 ，所以错误。展开式的通项公式sin12,kZ为 ，由 得， ，所以常数项为34411()()2kkkkxTCx403k，所以正确。因为 ，所以34)C)(1)Pp，所以正确。选 C.(1)(1022P（6 ）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C. D. 844262【答案】D- 3 -由三视图可知，该几何体的为 ，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为 2.其中 ,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为3,1HDBF4
4、的长方体，所以该几何体体积为 。248（7 ）抛物线 （ ）的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且2ypx0AB满足 .过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则1AFBAMMN的最大值为|MNA. B. 1 C. D. 2323【答案】A（8 ）已知函数 .若 ，使*()21,fxN*0,xn成立，则称 为函数 的一个“生成00()63f f 0(,)xn()fx点”.函数 的“生成点”共有()fxA. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个【答案】B由题意知 ，000021()12()1()21)63xxnxn因为 ，所以 ， 。因为 ，所以当0,xnNAn+xn
5、79=3时， ，此时解得 ，生成点为 。当130030,x(9,)时， ，此时解得 ，生成点为 。所以72179xx616函数 ()f的“生成点”共有 2 个，选 B.第二部分（非选择题 共 110 分）- 4 -二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. （9 ）在等比数列 中， ，则 ， 为等差数列，且 ，na3240a3nb3ba则数列 的前 5 项和等于 . nb【答案】 ，210在等比数列中 ，解得 。在等差数列中232430aa32a，所以 。3ba155()51bbS（10 ）在 中， ， ， 分别为角 ， ，C 所对的边.已知角 为锐角，
6、且ABCcABA,则 .sint【答案】 24由 得 ，所以 , ，即3sinbaBi3sinAB1sin3A2cos.2tan4A（11 ）执行如图所示的程序框图，输出的结果 S= .【答案】 20第一次循环， ；第二次循环， ；第0,1,iS2,12,iS- 5 -三次循环， ；第四次循环， ；此时满足4,219,iS6,9210iS条件输出， .0（12 ）如图，圆 是 的外接圆，过点 C 作圆 的切线交 的延长线于点 .若OABCOBAD， ，则线段 的长是 ；圆 的半径是 . 3CDDDBCO A【答案】1, 2，设 ，则 ，即ADx2CADB，所以 ，解得 ，即 .所以三角形 为直
7、2(3)()3x230x1角三角形，且 所以 ,所以三角形 为正三角形，所以半/,OCBD6ACO径 .A（13 ）函数 是定义在 上的偶函数，且满足 .当 时，)(xfR(2)(fxf0,1x.若在区间 上方程 恰有四个不相等的实数根，则实数()2f2,320ax的取值范围是 .a【答案】 (,)5由 得函数的周期是 2.由 得(2)(fxf2()0axf，设 ，作出函数 的图象，如图()fxa,2yax,yxa- 6 -，要使方程 恰有四个不相等的实2()0axf数根，则直线 的斜率满足 ，由题意可知，2()yaxAHAGk，所以 ，所以 ，即 。(1,2)(3),0GHA， ， ， =5
8、3AHGk， 53a2(,)53（14 ）在平面直角坐标系 中，已知点 是半圆 （ ）上的一xOy2240xyx4个动点，点 在线段 的延长线上当 时，则点 的纵坐标的取值范COC围是 【答案】 5,由图象可知，当点 A 位于点 B 时，点 C的纵坐标最大。当点 A 位于点 D 时，点 C 的纵坐标最小由图象可知 , 。当点(2)， )D，A 位于点 B 时， ，因为 ，所以此时 .由相似2O0OA5O性可知 ，解得 ，同理当点 A 位于点 D 时，解得 ，所以点 的纵CMy5Cy Cy坐标的取值范围是 ，即 。,- 7 -三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算
9、步骤或证明过程.（15 ） （本小题满分 13 分）已知函数 （ ）的最小正周期为 .231()sini2xfx0（）求 的值及函数 的单调递增区间；()f（）当 时，求函数 的取值范围.0,2xx（16 ） （本小题满分 13 分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字 称“从盒中随1,0，2机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（）在两次试验中，记卡片上的数字分别为 ，试求随机变量 的分布列与数， X=学期望 EX（17 ） （本小
10、题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且 ， PABCDPABCDPA四边形 满足 ， ， 点 分别2PAD 1,EF为侧棱 上的点，且 ,B EF（）求证： 平面 ；FAP（）当 时，求异面直线 与 所成角的余弦值； 12BCD（）是否存在实数 ，使得平面 平面 ？若存在，FP试求出 的值；若不存在，请说明理由（18 ） （本小题满分 13 分）已知函数 ，其中 2()()ln2fxaxa2（）求函数 的单调区间；（）若函数 在 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围.()fx0,2（19 ） （本小题满分 14 分）PDAB CFE- 8 -已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆
11、 过点 ,离心率为 ，点 为其右顶xC3(1)232A点.过点 作直线 与椭圆 相交于 两点，直线 ， 与直线 分别交于点(10)B， l,EFAEFx， .MN（）求椭圆 C的方程；（）求 的取值范围.EF（20 ） （本小题满分 13 分）设 是数 的任意一个全排列，定义1210(,)x ,2345,6789,10，其中 .011()|3|kS1x（）若 ，求 的值；(,9876,542,)()S（）求 的最大值；)S（）求使 达到最大值的所有排列 的个数.(- 9 -北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4一、选择题：题号 （1） （2） （3） （4 ）
12、 （5） （6 ） （7） （8）答案 A D A C C D A B二、填空题： 题号 （9） （ 10） （11 ） （12） （13） （14）答案 ，2102401, 22(,)535,（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（15 ） （本小题满分 13 分）解：（） 1cos()sin22xfxx3is. 4 分sin()6x因为 最小正周期为 ，所以 . 6 分)f 2所以 .(si2)x由 ， ，得 .6kkZ36kxk所以函数 的单调递增区间为 ， . 8 分()fx,6Z（）因为 ，所以 ， 10 分0,27,6所以 . 12 分1sin()1x所以函
13、数 在 上的取值范围是 . 13 分)f,1,2（16 ） （本小题满分 13 分）解：（）设事件 A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则21()4P答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是 3 分12- 10 -（）设事件 B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数由（）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是 12所以 04134()1()()226PC答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为 7 分16（）由题意可知， 的可能取值为 ，所以随机变量 的可能取值为， 1,0，X2,10,，4； ；21()8PX=21()48PX=； ；746； (2)()16所以随机变量 的分布列为X21024P876816所以 13 分1()204EX=（17 ） （本小题满分 14 分）证明：（）由已知， ，EFPBC所以 FA因为 ，所以 CDA而 平面 ， 平面 ，EPPD所以 平面 4 分FA（）因为平面 平面 ， BAC平面 平面 ，且 ，CDP所以 平面 .A所以 ， 又因为 ，B所以 两两垂直 5 分,PD
