1、一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当 时，才能直接24()bacx240bac开平方得： 24bacx也就是说，一元二次方程 只有当系数 、 、 满足条件 时才有0()xbabc240bac实数根这里 叫做一元二次方程根的判别式22.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程 的根由其系数 、 、 确定，它的根的情况(是否20()axbcaabc有实数根)由 确定24bc判别式：设一元二次方程为 ，其根的判别式为： 则24a 方程 有两个不相等的实数根 020()axbca 21,2cx 方程
2、有两个相等的实数根 ba 方程 没有实数根2()xc若 ， ， 为有理数，且 为完全平方式，则方程的解为有理根；abc若 为完全平方式，同时 是 的整数倍，则方程的根为整数根24bac说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值: 上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时， ;有两个相等的实数根时， ;没有实数根时，000(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式 判定方程的根的情24bac况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根) 当 时，方20程有两个相等的实数根( 二重根 )，不能说方程只有一个根 当 时 抛物线开口向上 顶点
3、为其最低点；0a 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题二、韦达定理如果一元二次方程 （ ）的两根为 那么，就有20axbca12x， ，212x比较等式两边对应项的系数，得 12xac ，式与 式也可以运用求根公式得到人们把公式与 称之为韦达定理，即根与系数的关系因此，给定一元二次方程
4、 就一定有与式成立反过来，如果有两数 满足20axbc 1x， 2与，那么这两数 必是一个一元二次方程 的根利用这一基本知识常可以简捷地1， 20axbc处理问题利用根与系数的关系，我们可以不求方程 的根，而知其根的正、负性在 的条件下，我们有如下结论：24bac 0当 时，方程的两根必一正一负若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 ，0ca 0ba 0ba则此方程的正根小于负根的绝对值当 时，方程的两根同正或同负若 ，则此方程的两根均为正根；若 ，则此方程的两根均为负根 韦达定理：如果 的两根是 ， ，则 ， (隐含的条件： )20()axbca1x212bxa12cx0 若 ， 是 的
5、两根(其中 )，且 为实数，当 时，一般地：120)xm ，1()mm2 且 ，2x(x1x2 且 ，10)()特殊地：当 时，上述就转化为 有两异根、两正根、两负根的条件20()abca 以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是： 12,x 21212()0xx 其他： 若有理系数一元二次方程有一根 ，则必有一根 ( ， 为有理数)ba 若 ，则方程 必有实数根0ac20()axbca 若 ，方程 不一定有实数根 若 ，则 必有一根 b2 1x 若 ，则 必有一根 c()xc 韦达定理主要应用于以下几个方面： 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 已知方程，求关于方程
6、的两根的代数式的值； 已知方程的两根，求作方程； 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 一些考试中，往往利用这一点设置陷阱例题一、判断方程根的情况【例 1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1） ；（2） ；（3） 。2340x21694y25170x【例 2】 不解方程，判别方程 的根的情况。220xk【例 3】 解关于 的方程x2130mx【例 4】 已知关于 的方程 有两个相等的实数根x2(1)0nxm求
7、证：关于 的一元二次方程 必有两个相等的实数根y2240yn【巩固】已知 ， ，判断关于 的方程 的根的情况，并给出必要的说明.0abcx20abxc【巩固】(1998 年山东省竞赛 )设 、 、 为互不相等的非零实数，求证：三个方程abc，20axbc，c不可能都有 2 个相等的实数根二、应用题【例 5】 （2006湛江市）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题（结果精确到 0.1%） 领导市民全市一共有 13233 个自然村，2005 年已建成生态文明村 23
8、15 个，计划到 2007 年全市生态文明村数要达到自然村总数的 24.4%领导，按这个计划，从 2005 年到 2007 年，平均每年生态文明村增长率约是多少？【巩固】 （2006新疆）2004 年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生某市 2004 年 9 月招收区内初中班学生 50 名，并计划在 2006 年 9 月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数达到 450名若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率【例 6】 （2006重庆市）机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设
9、备润滑用油 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克，用油的重复利用率仍然为 60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油量的重复利用率将增加 1.6%.这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12
10、 千克. 问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？【例 7】 （2006南安）某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价 元， ，商场一天可获利润 y 元x若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当 x 取何值时，商场获利润不少于 2160
11、元？【例 8】 （2006诸暨市） 有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多 4尺; 把竹竿竖放在这扇门前 , 竹竿长比门的高度多 2 尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正好和门的对角线等长. 问竹竿长几尺?【例 9】 （2006广东省）将一条长为 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成20cm一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请21c说明理由三、韦达定理【例 10】 (2006广安市)已知 : 的两边 、 的长是关于 的一
12、元二次方程ABCACx的两个实数根, 第三边 BC 的长为 5. 试问: 取何值时, 是2230xkxk- kABC以 为斜边的直角三角形?BC【例 11】 已知关于 的一元二次方程 .x2120xmx(1)若方程有两个相等的实数根，求 的值；(2)若方程的两实数根之积等于 ，求 的值296【巩固】 已知关于 的方程x22(1)30mx（1）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设 、 是方程的两根，且 ，求 的值。12 2112()()0xm【例 12】 （2006济南市）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且满x210kx2x1，足 ，求 的值21()xk【例 13】 已知
13、、 是关于 的一元二次方程 的两个非零实数根，问：1x2x224(1)0xmx与 能否同号？若能同号请求出相应的 的取值范围；若不能同号，请说明理由。12【巩固】 证明：方程 无整数根。21970x【例 14】 已知 、 是一元二次方程 的两个实数根。1x22410kx（1）是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，k113()() k请说明理由。（2）求使 的值为整数的实数 的整数值。12xk【巩固】 已知关于 的方程 的两个实数根的倒数和等于 3，关于 的方程x230xax有实根，且 为正整数，求代数式 的值。2(1)3kk12k作业题1 已知关于 的方程 只有整数根，且关于
14、 的一元二次方程x2(1)0kxky的两个实数根为 、 。2()30kym1y2（1）当 为整数时，确定 的值。（2）在（1）的条件下，若 2，求 的值。122 已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个非零实根，问： 、1x2x224(1)0xmx1x能否同号？若能同号，请求出相应 的取值范围；若不能同号，请说明理由。23 设 、 是方程 的两根，则 ； 1x2240x12x12x； 。()14 以方程 的两根的倒数为根的一元二次方程是 。240x5 已知方程 的两实根差的平方为 144，则 。2450xmm6 已知方程 的一个根是 1，则它的另一个根是 ， 的值是 。230x7 反比例函数
15、的图象经过点 （ 、 ） ，其中 、 是一元二次方程 的kyxPabab240xk两根，那么点 的坐标是 。P8 已知 、 是方程 的两根，则 的值为 。1x22310x214x9 不解方程，判别下列方程的情况：（1） ；（2） ；2340x256y（3） ；（4） ；1p280x（5） ；（6）2 23tt10 练习：不解方程，判别下列方程的根的情况。（1） ；210axa（2） ；2k（3） 2mx11 （南通市）据 2005 年 5 月 8 日南通日报报道：今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图所示，其中住宿消费为3438.24
16、万元。（1）求我市今年“五一” 黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？（2）对于“五一” 黄金周期间的旅游消费，如果我市 2007 年要达到 3.42 亿元的目标，那么2005 年到 2007 年的平均增长率是多少？2005 年南通市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图：12 （2006永州市）李大伯承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质油桃，今年已进入第三年收获期今年收获油桃 6912 千克，已知李大伯第一年收获的油桃重量为 4800 千克试求去年和今年两年油桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年油桃的产量为多少千克？13 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，且关于 的方程x22(1)30ax x没有实数根，问： 取什么整数时，方程有整数解？20aa
