1、二项式定理例题讲解分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原理 做一件事，完成它有 n 类不同的办法。第一类办法中有 m1 种方法，第二类办法中有 m2 种方法，第 n 类办法中有 mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+mn 种方法。 做一件事，完成它需要分成 n 个步骤。第一步中有 m1 种方法，第二步中有 m2 种方法，第 n 步中有 mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 mn 种方法。 注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤 ”。 排列 组合 从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素，按照一定的顺序排
2、成一排，叫做从 n 个不同的元素中取m 个元素的排列。 从 n 个不同的元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取 m 个元素的组合。 排列数 组合数 从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Pnm 从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记为 Cnm 选排列数 全排列数 二项式定理 二项展开式的性质 (1)项数：n+1 项 (2)指数：各项中的 a 的指数由 n 起依次减少 1，直至 0 为止；b 的指出从 0 起依次增加1
3、，直至 n 为止。而每项中 a 与 b 的指数之和均等于 n 。(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和 例 1试求：（1）(x 3 )5 的展开式中 x5 的系数；2（2）(2x 2 )6 的展开式中的常数项；（3）(x 1)9 的展开式中系数最大的项；（4）在 的展开式中，系数为有理数的项的个数103)解：（1）T r1 rrrrr xCxC5125)(依题意 15 5r5，解得 r2故( 2)2 40 为所求 x5 的系数（2）T r1 (2x2)6 r ( 1)r26 rrCr1rxC312依题意 12 3r0，解得 r4故 22 60 为所求的常数项4)
4、(6（3）T r1 rrxC9 ，而( 1)41，( 1)5-1594 T 5126x 5 是所求系数最大的项（4）T r1 ,rrrrr xCC10325013100)2()(要使 x 的系数为有理数，指数 50 与 都必须是整数，因此 r 应是 6 的倍数，即 r6k（kZ ） ，又 06k100，解得 0k 16 （k Z）32x 的系数为有理数的项共有 17 项评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定 r 的值或取值范围应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分例 2试求：（1）(x 2) 10(x2 1)的展开式中 x10 的系数；（2）(x 1
5、) (x 1)2(x 1)3 (x 1)4( x 1)5 的展开式中 x2 的系数；（3） 的展开式中的常数项.3解：（1） (x2) 10x 1020x 9180x 8 (x2) 10(x2 1)的展开式中 x10 的系数是 1180179（2） (x1) (x 1)2( x 1)3 (x 1)4( x 1)565)1()所求展开式中 x2 的系数就是(x 1)6 的展开式中 x3 的系数 -2036C（3） =31x1x 所求展开式中的常数项是- 2036C评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分
6、析题目中式子的结构特征例 3 （1）已知(1x) n 的展开式中， x3 的系数是 x 的系数的 7 倍，求 n 的值；（2）已知(ax1) 7（a0）的展开式中， x3 的系数是 x2 的系数与 x4 的系数的等差中项，求 a 的值；(3)已知(2 x )8 的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1120，求 x 的值g1解：（1）依题意 ，即 7n3nC6)(1由于 nN，整理得 n2 3n 400，解得 n8(2) 依题意 47725aa由于 a0，整理得 5a2 10a30，解得 a1 50（3）依题意 T5 1120，4lg48)(xC整理得 x4(1lgx) 1，两边取对数，得l
7、g2xlgx0，解得 lgx0 或 lgx1x1 或 x评述 (ab) n 的展开式及其通项公式是 a，b，n，r，T r1 五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数 例 4 （1）若(2x )4a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x43则(a 0a 2a 4)2( a1 a3)2 的值等于 ；（2）12 01CC解（1）令 x1，得 a0a 1a 2a 3a 4( )4，令 x-1 ，得 a0-a1a 2-a3a 4 ，2由此可得(a 0a 2a 4)2( a1a 3)2(a 0a 1a 2a 3a 4)( a0 a1a 2
8、a 3a 4) 41)(（2）在(1x) 10 中，rrxC10令 x2，得 12 5904324101210 C评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(ab) n 为恒等式 rnrbaC10二项式定理练习题1在 的展开式中， 的系数为 （ ）103x6xA B C D6C27410276109410C92 已知 ， 的展开式按 a 的降幂排列，其中第 n 项与第 n+1 项相等，那么正整数 nab,an等于 （ ）A4 B9 C10 D113已知（ 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 112，则 n 是 （ ）na)132A10 B11 C12 D134 5310 被
9、 8 除的余数是 （ ）A1 B2 C3 D75 (1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是 （ ）A1.23 B1.24 C1.33 D1.346二项式 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 n4x1（ ）A1 B2 C3 D47设(3x +x ) 展开式的各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h，若 t+h=272，则展开式的 x 项的系数是312n 2（ ）A B1 C2 D38在 的展开式中 的系数为 （ ）62)1(x5xA4 B5 C6 D7 9 展开式中所有奇数项系数之和等于 1024，则所有项的系数中最大的值是nx)(513（
10、 ）A330 B462 C680 D79010 的展开式中， 的系数为 （ ）54)1(x4xA40 B10 C40 D4511二项式(1+sinx) n 的展开式中，末尾两项的系数之和为 7，且系数最大的一项的值为 ，则 x 在0 ，2内5的值为 （ ）A 或 B 或6365C 或 D 或2312在 (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7 的展开式中,含 x4 项的系数是等差数列 an=3n5 的 （ ）A第 2 项 B第 11 项 C第 20 项 D第 24 项二、填空题：本大题满分 16 分，每小题 4 分，各题只要求直接写出结果.13 展开式中 的系数是 .92)1(x9x14若 ，
11、则 的值为_.4104aa3231240aa15若 的展开式中只有第 6 项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 2()n16对于二项式(1-x) ，有下列四个命题：19展开式中 T = C x ；0109展开式中非常数项的系数和是 1；展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项；当 x=2000 时，(1-x) 除以 2000 的余数是 119其中正确命题的序号是_ （把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 74 分.17 （ 12 分）若 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列nx)1(6（） 求 n 的值；（）此展开式中是否有常数项，为什么？18 （ 1
12、2 分）已知 ( )n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，求展式中二项式系数最大的项的系124x数19 （ 12 分）是否存在等差数列 ，使 对任意 都成立？na n1n231n20 2CaCa*N若存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由20 （ 12 分）某地现有耕地 100000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到 1 亩）？21. （12 分）设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n )，若其展开式中，关于 x 的一次项系数为 11，试问：m、n 取何N值时，f(x) 的展开式中含 x2 项的系数取最小值，并求出这个最小值.22 （ 14 分）规定 ，其中 xR，m 是正整数，且 ，这是组合数!)1()Cmx 10xC（n 、m 是正整数，且 mn）的一种推广(1) 求 的值；315(2) 设 x，当 x 为何值时， 取得最小值？213)(xC(3) 组合数的两个性质； . .mnCmnmn1是否都能推广到 （ xR， m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.
