1、小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理1和差倍问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系 公式 (和差)2=较小数 较小数差=较大数 和较小数=较大数 (和差)2= 较大数 较大数差=较小数 和较大数=较小数 和(倍数1)= 小数 小数倍数=大数 和小数=大数 差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 小数差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数 2年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的； 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； 两个人的年龄的倍
2、数是发生变化的； 3归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量” ，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4植树问题 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数 棵距段数=总长 关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理5鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换
3、问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： 假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： 假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； 每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； 再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： 把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数） （兔脚数鸡脚数） 把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数） （兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们
4、的关系求对象分组的组数或对象的总量 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量 基本题型： 一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差 当两次都有余数； 基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差 当两次都不足； 基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即
5、可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间） ； 总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量； 小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理8周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题：确定循环周期。 闰 年：一年有 366 天； 年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除； 平 年：一年有 365 天。 年份
6、不能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除； 9平均数 基本公式：平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数 平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数 基本算法： 求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算. 基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。 10抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至
7、少放有 2 个物体。 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。 抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。 k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。 理解知识点：X表示不超过 X 的最大整数。 例4.351=4；0.321=0；2.9
8、999=2； 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。 小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理11定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 12数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
9、 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示； 项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示； 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示； 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示； 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示 基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。 基本公式：通项公式：an = a1+（n1）d； 通项首项（项数一 1) 公差； 数列和公式：sn,= (a1+ an)n2； 数列和（首项末项）项数2
10、； 项数公式：n= (an+ a1)d1； 项数=（末项-首项）公差1； 公差公式：d =（ana1）（n1）； 公差=（末项首项）（项数1）； 关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式； 13二进制及其应用 十进制：用 09 十个数字表示，逢 10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2102+310+4。 =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100 注意：N0=；N=N（其中 N 是任意自然
11、数） 二进制：用 01 两个数字表示，逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。 小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7 +A322+A221+A120 注意：An 不是 0 就是 1。 十进制化成二进制： 根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。 先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式
12、特点即可写出。 14加法乘法原理和几何计数 加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn 种不同的方法。 关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1m2. mn 种不同的方法。 关键问题：确定工
13、作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点；没有长度。 数线段规律：总数1+2+3+ （点数一 1） ； 数角规律=1+2+3+（射线数一 1） ； 数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数： 数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数 15质数与合数 质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了 1 和
14、它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、a2、a3an 都是合数 N 的质因数，且a1a2a3an。 求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。 16约数与倍数 约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a
15、 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质： 1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。 例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12； 18 的约数有：1、2、3、6、9、18； 那么 12 和 18 的公约数有：1、2、3、6； 那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记
16、作（12，18）=6； 求最大公约数基本方法： 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 12 的倍数有：12、24、36、48； 18 的倍数有：18、36、54、72； 那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、108； 那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作12，18=36； 最小公倍数的性质： 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数
17、。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法 17数的整除 一、基本概念和符号： 1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。 2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“ ”； 二、整除判断方法： 1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。 2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、25
18、 整除。 3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除。 4. 能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除。 5. 能被 7 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。 6. 能被 11 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除。 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。 7. 能被 13 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
19、数之差能被 13 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。 三、整除的性质： 1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b ）与（a-b ）也能被 c 整除。 2. 如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。 3. 如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。 4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。 18余数及其应用 基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得 ab=qr，且 0rb,那么 r 叫做 a 除以 b 的余数，q 叫做 a 除以
20、b 的不完全商。 余数的性质： 余数小于除数。 若 a、b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a。 a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。 a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。 19余数、同余与周期 一、同余的定义： 若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余。 已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 m 同余，记作 ab(mod m)，读作 a 同余于 b 模 m。 二、同余的性质： 小
21、学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理自身性：aa(mod m)； 对称性：若 ab(mod m)，则 ba(mod m)； 传递性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，则 a c(mod m)； 和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则 a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)； 相乘性：若 a b(mod m)，cd(mod m)，则 ac bd(mod m)； 乘方性：若 ab(mod m)，则 anbn(mod m)； 同倍性:若 a b(mod m)，整数 c，则 ac bc(mod mc)； 三、关于乘方的预备知识： 若 A
22、=ab，则 MA=Mab=（Ma）b 若 B=c+d 则 MB=Mc+d=McMd 四、被 3、9、11 除后的余数特征： 一个自然数 M，n 表示 M 的各个数位上数字的和，则 Mn(mod 9)或（mod 3） ； 一个自然数 M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则 MY-X 或 M11-（X-Y）(mod 11)； 五、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数） ，a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-11(mod p)。20分数与百分数的应用 基本概念与性质： 分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。 分数的性质：
23、分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。 分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。 百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法： 逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。 对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出
24、相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。 量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。 替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理21分数大小的比较 基本方法： 通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分
25、子分数大小和分母的关系比较。 通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。 基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。 分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。 倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。 （具体运用见同倍率变化规律） 转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。 倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1 进行比较。 大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 比较。 倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确
26、定原数的大小。 基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。 22分数拆分 一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式： =+； =+（d 为自然数） ； 23完全平方数 完全平方数特征： 1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。 2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。 3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。 4. 约数个数为奇数；反之成立。 5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。 6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。 7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式：X2-Y2= （X-Y ） （X+Y ） 完全
27、平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2 24比和比例 比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。 比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外） ，比值不变。 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或 小学奥数知识点回顾（必须掌握的 30 个知识模块）刘强老师整理比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。 正比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也扩大或缩小几倍（AB 的商不变时） ，则 A 与 B 成正比。 反比例：若 A
28、 扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几倍（AB 的积不变时） ，则 A 与 B 成反比。 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。 25综合行程 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程 速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式） 追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间 逆水行程=（船速-水速）逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船
29、速-水速 静水速度=（顺水速度+逆水速度）2 水 速=（顺水速度-逆水速度）2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、时间（相遇时间、追及时间） 、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。 26工程问题 基本公式： 工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 基本思路： 假设工作总量为“1”（和总工作量无关） ； 假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数） ，利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理
