1、工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时” 等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程
2、，甲队需 100 天完成，乙队需 150天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12 天。例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始三个队一起干，因工作需要甲队
3、中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例 6 甲、乙
4、二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习 51.某工程甲单独干 10
5、 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲
6、管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8 时，比快车从40 千米。求甲、乙两地的距离。工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。 例 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天可完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们
7、先画出示意图：从上图可直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等，即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，现在乙队先做 7 天，然后么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“ 甲、乙合做 4天，乙再单独例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天
8、才能完成。如果甲、乙二人合做 2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过 3 天，甲、乙合做 2 天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要例 4 放满一个水池的水，若同时打开 1，2，3 号阀门，则 20 分钟可以完成；若同时打开 2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成；若同时打开 1，3 ，4 号阀门，则 28 分钟可以完成；若同时打开 1，2，4 号阀门，则 30 分钟可以完成。问：如果同时打开 1，2 ， 3，4 号
9、阀门，那么多少分钟可以完成？分析与解：同时打开 1，2 ，3 号阀门 1 分钟，再同时打开 2，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，2，4 号阀门 1 分钟，这时， 1，2，3，4号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于一例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成；由二、三、四小队合干，需要 10 天完成；由一、四小队合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？分析与解：与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。由最后一轮完成的工作量相同，得到
