1、第 1 页 共 12 页第 3 讲 函数性质一、函数的单调性1增函数、减函数定义设函数 的定义域为集合 ： ()yfxI增函数定义 如果对 于属于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 、 ，当 时，都有ID1x212x，那么就 说在 这个区间 上是增函数；12()fxf()fxD减函数定义 如果 对于属于定义域 内某个区 间 上的任意两个自变量的值 、 ，当 时，都有I 1212，那么就 说 在这个区间 上是减函数12()ff()f2单调函数、单调区间定义如果函数 在区间 是增函数或减函数，那么就说函数 这一区间具有（严格的）单调性，区 间()yfxD()yfx叫做 的单调区间Df3增函
2、数、减函数的等价定义任取 ，则 12,xab等价定义 1 在 上是增函数；21()0fxf()fx,ab在 上是减函数21()fff,等价定义 2 在 上是增函数；22()()0xffx()fx,ab在 上是减函数11(4对单调性概念的理解：（1）函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定 义域，也可以是定义域的某个区间 （2）有些函数在其定义域内不具有单调性，如 ， ； 1yx2有些函数在其整个定义域内都具有单调性，如 ， ；3（3）当函数在闭区间上单调时，区 间包不包括端点都可以，但习惯上写成闭区间的形式；因为对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以区间端点
3、处不具有单调性；（4）函数单调性定义中的 、 应取自同一单调区间且具有任意性；1x2（5）在单调区间上，增函数的图 像是上升的，减函数的 图像是下降的；5定义法证明函数单调性的步 骤任取 ，作差、变形（一般是因式分解、配方、分子或分母有理化），判断符号， 结论6.复合函数分析法设 ()yfu， ()gx,ab， ,umn都是单调函数，则 ()yfgx在 ,ab上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外 ”函数增减性相同，复合函数为增函数， “里外”函数的增减性相反，复合函数 为减函数。如下表：第 2 页 共 12 页题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。1.定义法【例 1】
4、试用函数单调性的定义判断函数 在区间 上的单调性2()1xf(0,1)【例 2】 证明函数 在定义域上是增函数3yx【例 3】 根据函数单调性的定义， 证明函数 在 上是减函数3()1fx(,)【例 4】 证明函数 在定义域上是减函数()fx【例 5】 讨论函数 的单调性2()1xf()【例 6】 求函数 f(x)=x+ 的单调区间。x【例 7】 求证:函数 在 上是增函数()(0)afx(,)a【例 8】 已知 f(x)是定义在 R 上的增函数， 对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+ ，讨论 F (x)的单调性，)1并证明你的结论。第 3 页 共 12 页【
5、例 9】 已知函数 对任意 实数 ， 均有 且当 0 时， ，试判断 的单调()fxxy()()fxyfyx()0fx()fx性，并说明理由【例 10】 已知给定函数 对于任意正数 ， 都有 ，且 0，当 时， 试()fxxy()fx(f)y()fx1()fx判断 在 上的单调性，并说明理由()fx0,2.图象法【例 11】 如图是定义在区间 上的函数 ，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，5,()yfx它是增函数还是减函数？-5 -4-2-1-3 -2 -1 321 54321Oy=f (x)yx【例 12】 求函数 的单调减区间12yx【例 13】 求下列函数的单调区间：
6、； （ ）|1|yx1yx0第 4 页 共 12 页【例 14】 求下列函数的单调区间： ； |1|24|yx2|3yx【例 15】 作出函数 的图象，并结合图象写出它的单调区间2|yx【例 16】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1） （2）2|1yx2|3|yx3.求复合函数的单调区间【例 17】 求函数 的单调区间21yx【例 18】 讨论函数 的单调性23yx题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围【例 19】 设函数 是 R 上的减函数，则 的范围为( ) ()21)fxaxbaA B C D 1a1212【例 20】 函数 )是单调函数的充要条件是 ( )2(0,yxbc第
7、5 页 共 12 页A B C D0b0b0b0b【例 21】 已知 （ 且 ）是 上的增函数 则实数 的取值范围是（ ）2()()xafxa1 RaA B01， 02， ，C D， ()， ，题型三：函数的单调性与方程、不等式【例 22】 已知 在区间 上是减函数， 且 ，则下列表达正确的是（ ）()fx(,),abR0A Babfab()()ffafbC D()()f【例 23】 若 是 上的减函数，且 的图象经过点 和点 ，则不等式 的解()fxR()fx(03)A， (1)B， |(1)|2fx集为（ ）A B C D(3)， (2)， ()， (2)，【例 24】 设 是定义在 R
8、上的函数，对 、 恒有 ，且当 时， 。()fxmnR()()fnfmn0x()1fx（1）求证： ； （2）证明： 时恒有 ；01x0x（3）求证： 在 R 上是减函数； （4）若 ，求 的范围。()f ()2)1f【例 25】 设 是定义在 上的单调增函数，满足()fx(0,)()(),31fxyfyf求：（1）f （1）；（2）当 时 x 的取值范围.82fx【例 26】 已知 是定义在 上的增函数，且 ()fxR()()xffyy求证： ， ；10()()fyfx第 6 页 共 12 页若 ，解不等式 (2)1f1()23fx【例 27】 设 ， 是定义在有限集合 上的单调递增函数，且
9、 对任何 ，有1n()fx1,23,An ,xyA那么， （ ）()fxyyA B C D23n4n5题型四：函数的最值【例 28】 求函数 ， 的最小值1()fx0x【例 29】 求函数 的最小值1yx【例 30】 求函数 的最值1yx二、函数的奇偶性1奇函数定义如果对于函数定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 就叫奇函数x()(fxf()fx2偶函数定义如果对于函数定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 就叫偶函数()ff()f3函数的奇偶性定义如果一个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数在其定义 域内具有奇偶性注：（1）函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数（2）奇函数、偶函数
10、定义域关于原点 对称第 7 页 共 12 页（3）定义域关于原点对称是函数 为奇函数或偶函数的必要不充分条件()fx4判断函数奇偶性的步骤先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据 与 的关系做出判断，()fx(f为了便于判断，有时需要将函数 进行化简5判断函数奇偶性的方法（1）奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法（2）为了便于判断，有时将函数解析式化 简后利用奇偶性定 义的等价形式：函数为奇函数； 函数为奇函数（ ）； 函数为偶函数；()0fxf()1fx()0fx()0fxf函数 为偶函数（ ）1()f ()0fx（3）根据函数图像的对称性判断奇偶性：图像关于原
11、点对称的函数是奇函数， 图像关于 轴对称的函数是偶函数y（4）利用基本函数的奇偶性结论判断（具体内容见后面附录二）（5）由任意一个定义域关于原点对称的函数 ，均可构造出()fx一个奇函数 、一个偶函数 ()()2gxfx()2hfx（6）利用以下结论判断奇偶性：奇函数奇函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，奇函数 偶函数=奇，偶函数 偶函数=偶函数等5有关函数奇偶性的结论（1）奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性（如果具有单调性）（2）偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性（如果具有单调性）（3）若奇函数 在 处有定 义，则 ()fx0(0)f（4）若 ，且
12、定义域关于原点对称，则函数 既是奇函数，又是偶函数ff ()fx典例分析题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断 f(x) f(-x)是否为 0 是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断【例 1】 判断下列函数的奇偶性： ；yx第 8 页 共 12 页 ；42yx ；3 1【例 2】 判断下列函数的奇偶性： ； ； ； 4()fx5()fx1()fx21()fx【例 3】 判断下列根式函数的奇偶性并说明理由：（1） 1()xfx（2） ；f（3）f(x)=21-x+【例 4】 判别下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ；（3） .2()5|fxx()|1|
13、fxx23()fx【例 5】 判断函数 f(x)= 的奇偶性2-x1+2.由函数奇偶性的定义，有下面的 结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数【例 6】 若函数 f(x)= g(x)是偶函数，且 f(x)不恒 为零，判断函数 g(x)的奇偶性3(x)第 9 页 共 12 页【例 7】 函数 与 有相同的定义域， 对定 义域中任何 ，有 ， ，则()yfx()ygx x()0fx()1gx是（ ）2()1FfgA奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数题型二：求解析式与函
14、数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式【例 8】 设 是 上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =_()fxR0,)x3()1)fx(,0)x()fx【例 9】 已知偶函数 f(x)的定 义域为 R，当 x0时，f(x)= ，求 f(x)的解析式2-设 x0，则x0 【例 10】 已知函数 为 上的奇函数，且当 时 求函数 的解析式()fxR0x()1)fx()fx【例 11】 已知函数 ，当 为何值时， 是奇函数？2()1)()2fxmxn,m()fx【例 12】 已知 是偶函数， 时， ，求 时 的解析式.()fx0x2()4fxx0()fx第 10 页 共 12 页【例 13】 已知 是
15、定义域为 的奇函数，当 时， ，求 的解析式.()fxR0x2()fx()fx【例 14】 图象关于 对称，当 时， ，求当 时 的表达式()yfx1x1x 2()1fxx()f【例 15】 已知函数 是奇函数,且 ,求 的值.21()(,)axfbcZ(1)2,)3ffabc2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数 f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和即 f(x)= F(x)+G(x) 其中 F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)f(-x)12利用这一结论，可以简捷的解决一些 问题【例 16】 定义在 R 上的函数 f(x)= ，可表示成一个偶函数 g(x)和一个奇函数 h(x)之和,求 g(x)，h(x)2x1【例 17】 已知 是奇函数， 是偶函数并且 ，则求 与 的表达式()fx()gx()1fxg()fxg【例 18】 已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，求 、 ()fx()gx1()fxg()fxg3.利用函数奇偶性求函数值【例 19】 已知 f（x） 求 f(2).,.10)(832 fbxa且
