1、第 19 讲 勾股定理考点方法破译1会用勾股定理解决简单问题.2会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典考题赏析【例 1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、B、C 、D 的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形 E 的面积是( )A 13 B 26 C 47 D 94【解法指导】 观察勾股树，发现正方形 A、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边
2、的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形 E 的面积等于正方形 A、B、C、D 四个面积之和，故选C【变式题组】01(安徽) 如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A，C 到直线 l 的距离分别是 1 和2，则正方形的边长是_.02(浙江省温州)在直线 l 上的依次摆放着七个正方形 (如图所示 )，己知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S 2，S 3，S 4，则S1S 2S 3S 4_.03(浙江省丽江)如图，已知ABC 中，ABC 90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1、 l2、 l3 上，
3、且 l1、 l2 之间的距离为 2，l 2、 l3 之间的距离为 3，则 AC的长是( )A B C D 7754【例 2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm.【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填 10， .2916n【变式题组】lA1DCB2第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图A C
4、Bl1l2l3BA 3cm 1cm6cm01(恩施) 如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是( )A B 25 C D 3552110502(荆州) 如图所示的长 方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610(单位:cm )，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13cm，小孔到图中边AB 距离为 1cm，到上盖中与 AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为 hcm，则 h 的最小值大约为_cm .(精确到个位，参考数据:14， 17: 22)23503(荆州) 若一
5、边长为 40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_cm .(铁丝粗细忽略不计 )【例 3】(荆州)如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E处，点 A 落在 F 处，折痕为 NM，则线段 CN 的长是( )A 3cm B 4cm C 5cm D 6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设 CNx，DNNE8x .在 RtCEN 中，(8x)24 2x 2 x5.故选 C【变式题组】01在四边形 ABCD 中，B90，AB4，BC3，CD13，AD12求 S 四边形 ABCD02如图，ABC 中，AB 13
6、，AD 6，AC5 ，D 为 BC 边的中点.求 SABC 03如图，ABC 中，ACB90，AD 平分CAB ，BC 4，CD .求 AC32B 51015 A20C第 1 题图第 2 题图AB吸管1065A DB E CF MNAB CD【例 4 】 （四川省初二数学联赛试题 )如图，直线 OB 是一次函数 y 2x 的图象，点 A的坐标为(0 ，2)，在直线 OB 上找点 C，使得ACO 为等腰三角形，求点 C 坐标.【解法指导】求 C 点坐标需分类讨论 .(1)若以 O 为顶点， OA 为腰，则 C 在以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆与 y 2x 的交点处.(2)若以 A 为顶点，
7、AO 为腰，则 C 在以 A 为圆心， AO 的长为半径的圆与 y 2x 的交点处.(3)若以 C 为顶点，则 C 在 OA 的中垂线与 y 2x 的交点处.【解】若以 O 为顶点，OA 为腰，如图设 C(t，2t)，则在Rt COD 中，OC2OD 2CD 2 4t 2(2t) 2 5t24 t 5C 1( ， ） ，C 2( ， ）5若以 A 为顶点，AO 为腰，如图，设 C(t，2t )，在 RtACE 中AC2CE 2AE 2 22t 2( 2t2) 2 t0（舍去） ，t C3(85， ) 若 C 为顶点， C 在 OA 的中垂线上.C 4( ，1)8516 12【变式题组】01若
8、A（3，2） ，B 为 x 轴上一点，O 为坐标原点.若 AOB 是等腰三角形.求 B 点坐标.02如图，在平面直角坐标系中，A(4，0) ，B 为 y 2x 上一点，若AOB 为等腰三角形.求 B 点坐标.03如图.在平面直角坐标系中，A(0，4) ，B 为 y 2x 上一点，若AOB 为直角三角形.求B 点坐标.AOByxy 2xAyxD OCAOCyxEA(4,0)y 2xxyOAy 2xxyO【例 5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点.问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PAPB 的值最小.方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 A
9、B 交 l 于点 P，则 PAPBAB 的值最小(不必证明 ).模型应用：如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点.连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称 .连接 ED 交 AC 于 P，则PB PE 的最小值是_ ；(2)如图 2，AOB45，P 是AOB 内一点，PO10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值.【解】(1) 5(2)如图 2，作 P 关于 OB 的对称点 P1，关于 OA 的对称点 P2，连接 P1P2，交 OB 于 R，交 OA 于 Q，则PRQ 的周长最小，且此时PRQ 的周
10、长为PR RQQPP 1P2连接 OP1，OP 2，12，34，2345 P 1OP290 ，OP 1OPOP 2，在 RtOP 1P2 中， P1P22OP 12OP 22，P 1P2 0【变式题组】01(荆门) 一次函数 ykxb 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A（2，0） ，B （0，4）.求该函数的解析式；O 为坐标原点，设 OA 、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求PCPD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标.02 （四川联赛试题)已知矩形 ABCD 的 AB12，AD3，E、F 分别是 AB，DC 上的点，则折线 AFEC 长的最小值为_.03(陕西)
11、如图，在锐角ABC 中，AB ，BAC45，BAC 的45平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BMMN的最小值是_.AAPBlBDCA PE图1O AQPBR图 2O AQPBRP1P2O C A xyBDPCA BDMN【例 6】求 的最小值.x242816x【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点 x2 4 x2 22， (8 x)2 16 (8 x)2 42均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以 ，为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形28问题来解
12、决.【解】如图，作 AB8，ACAB，BD AB ，AC2，BD4.E 是 AB 上一动点.设AE x.则 BE8x.CE ，DE .所以求代数式最小值问2x284x题转化为在 AB 上求一点 E，使 CEDE 值最小.根据线段公理，连接 CD 交 AB 于 H，则CD 为所求 .作 CFDB 交 DB 延长线于 F.在 RtCDF 中，CD 10.所2CFD求最小值为 10.【变式题组】01.（恩施自治州）如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD ，EDBD，连接 AC、EC 已知 AB5，DE 1，BD 8，设 CDx.用含 x 的代数式表示 ACCE 的长；请问点
13、 C 满足什么条件时， ACCE 的值最小?根据中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值x24219x02(咸宁) 问题背景:在ABC 中，AB 、BC、AC 三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面5103积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为 1)，再在网格中画出格点ABC(即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图 1 所示.这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.请你将ABC 的面积直接填写在横线上_；思维拓展:我们把上述求ABC 面积的方法叫做构图法.若ABC 三边的长分别为 a、5a、 a(a0) ，请利用图 2 的正方形网格(
14、每个小正方形的边长为 a)画出相217应的ABC ，并求出它的面积；探索创新:若ABC 三边的长分别为 、216mnAC2FB4Dx H 8 x EAB C DE、 （m0，n0 ，且 mn） ，试运用构图法求出这三角294mn2形的面积.【例 7】.(天津)已知 RtABC 中，ACB90，CA CB，有一个圆心角为 45，半径的长等于 CA 的扇形 CEF 绕点 C 旋转，且直线 CE、CF 分别与直线 AB 交于点 M、N.当扇形 CEF 绕点 C 在ACB 的内部旋转时，如图 1，求证： MN2 AM2BN 2；【思路点拨】考虑 MN2AM 2BN 2 符合勾股定理的形式，需转化为在直
15、角三角形中解决.可将ACM 沿直线 CE 对折，得DCM，连接 DN，只需证 DNBN，MDN90就可以了.请你完成证明过程:当扇形 GEF 绕点 C 旋转至图 2 的位置时，关系式 MN2AM 2BN 2 是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【解法指导】观察求证的结论容易发现 MN2AM 2BN 2符合匀股定理的结构形式.因此我们设法构造以 MN 为斜边的直角三角形.【解】(l) 证明:将ABM 沿直线 CM 对折，得DCM ，连 DN.ACMDCM 1 2，ACCD，AMDCACBCCDBCMCN45，1 42334在DCN 和BCN 中，CDCB34 CDNCBN，CDN
16、B45，BNDNCNCNMDN90在 RtDMN 中，MN 2DM 2DN 2NM 2AM 2BN 2将ACM 沿直线 CM 对折，得GCM ，连接 GN.GCMACM，CGMCAM135，12，AM GMBCN 90 390 (451)451 452CGN132452BCN CGN在BCN 和 GCN 中CNCNBCN CGN BCNGCN，CGNB45，GNBNCBCGMGN1354590 ，在 RtMGN 中，MN2MG 2GN 2， MN 2AM 2BN 2【变式题组】01在 RtABC 中，C90 ，D 为 AB 边的中点，DEDF.求证：EF 2AE 2BF 2ABC02我们给出如
17、下定义:若一 个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称_；如图 1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB；如图 2，将ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60，得到DBE，连接AD、DC ， DCB30. 求证：四边形 ABCD 是勾股四边形 .03(台州) 如图 1，Rt ABC RtEDF，ACBF90，AE30.EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转，DE 、DF 分别交线段 AC 于点 M、K.观察:如图 2
18、、图 3，当 CDF0或 60时，AM CK _MK(填“” 、“”或“”).如图 4，当CDF30时，AMCK_MK（只填“”或“”).猜想 :如图 1，当 0CDF60时，AMCK_MK，证明你所得到的结论.如果 MK2CK 2AM 2，请直接写出 CDF 的度数和 的值.AMK演练巩固反馈提高01如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则 AC 边上的高为（ ）A B C D32350354502(哈尔滨) 如图，长方形纸片 ABCD 中，AB 8cm ，把长方形纸片沿直线 ACA BCDEF折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F，若 AF cm，则
19、 AD 的长为( )254A 4cm B 5cm C 6cm D 7cm03(滨州) 已知ABC 中，AB17，AC10，BC 边上的高 AD 为 8，则边 BC 的长为( )A 21 B 15 C 6 D 21 或 904在同一平面内把边 BC 3，AC 4，AB5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到ABC，则 CC的长等于( )A B C D1251624505一个三角形三边长度之比为 3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为 ( )A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 9:16:2506(山西) 如图，在 RtABC 中，ACB90，BC 3，AC 4，AB 的垂直
20、平分线 DE交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为( )A B C D 2327625607(湖州) 如图，在正三角形 ABC 中，AB1，D、E、F 分别是 BC、AC 、AB 上的点，DEAC，EF AB，FD BC，则DEF 面积为_.08(安顺) 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若 AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车” ，则这个风车的外围周长是_.09(安徽) 长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_m.10(滨
21、州) 某楼梯的侧面视图如图所示，其中 AB4 米， BAC 30，C90，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为_.11(湖州) 如图，已知在 RtABC 中，ACB90，AB4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1、S 2 则 S1S 2 的值等于_.12(呼和浩特)如图，四边形 ABDC 中，ABD 120，ABAC，BD CD ，AB4，CD ，则该四边形的面积是_.5313已知等腰三角形 ABC 的底边 AB20cm，P 是腰 AC 上一点，且AP12cm，BP16cm ，则腰长是_.14(沪州) 如图，ABC 中，ABBC2，ABC90，D
22、是 BC 的中点，且它关于 AC的对称点为 D，则 BD_.15如图，点 A 在反比例函数 的图象上，OA4，AC x 轴，OA 的中垂线交 x 轴于6yxB 求ABC 的周长.16有一人字形屋架(等腰三角形 )，其顶角为 120，两腰长均为 4 米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?17(牡丹江) 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为 6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地 8m 长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.18如图 A(3， 4)，B(a，1)， AB5，C、D 分别为
23、 x 轴、y 轴上的两动点.求四边形 ABCD周长的最小值.19如图，在正ABC 中，DC4，DB3，DA5，求CDB yxA(3,4)B(a,1) xyO20如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，D 为三角形内一点，DC2，DB1，DA3求CDB 培优升级奥赛检测01如图，在 RtABC 中，ABAC ，D 、E 在斜边 BC 上且DAE45，将 ADC 绕点 A 顺时针旋转，使 AC 与AB 重合，得到 AFB，连接 EF，则下列结论: AEDAEF；ABEACD；BE DCDE；BE 2DC 2DE 2 其中正确的是 ( )A B C D 02(四川联赛试题)BD 是ABC 的
24、中线，AC 6 且ADB45，C 30，则 AB( )A B C D 66303 （江西竞赛）若将三条高线长度分别为 x、 y、 z 的三角形记为(x ， y， z)，现在以下四个三角形(6，8，10) ，(8 ，15，17) ，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为( )A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个04(北京竞赛)如图，ABCD 是一张长方形纸片，将 AD，BC 折起、使 A、B 两点重合于CD 边上的 P 点，然后压平得折痕 EF 与 GH.若 PE8cm ，PG6cm ，EG10cm，则长方形纸片 ABCD 的面积为（）cm 2A 105.6
25、B 110.4 C 115.2 D 124.805如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A CD、EF、GH B AB、CD、EF C AB、CD、GHD AB、EF、GH06(四川省初二数学联赛试题) 如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为 S、Q、R，且 PQ6，PRS，PS 10，则ABC 的面积等于( )A B C D190319231943196307(四川省初二数学联赛试题) 如图所示，在ABC 中，BAC120，图5FEBDHCAG 图6SRQCABP图7 CAB P 24图8ABDC
