1、勾股定理讲义直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即：a2+b2c 2）其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 中， ，ABC90则 ， ， ）2cab2ca2cb（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a 2+b2，则ABC 是以C 为直角的直角三角形（若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c2a
2、2+b2，则ABC 为锐角三角形） 。（定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形abc22abc三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但ab是 为斜边）b4：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ，22abcab为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数cabc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等3,456,8105,37,45用含字母的代数式表示 组勾股数： （ 为正整数） ；n22,n,n（ 为正整数） （ ，221,1n22,mn,m为正整数）n题型一：直接考查勾股定理在 中， .已知 ，
3、求 的长 已知 ，ABC906AC8BA17AB，求 的长15abccbaEDCBAbac baccabcab1.在 RtABC 中，a=3，b=4，则 c 边长为_2.在ABC 中，C=90， AB5，则 + + =_2ABC2题型二：应用勾股定理建立方程在 中， ， ， ， 于 ， ABC905ABcm3CcDABC已知直角三角形的两直角边长之比为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为 :415已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为 31. 已知:如图 13,ABC 中,AB=10,BC=9,AC=17. 求 BC 边上的高.2.如图 ， ,分别以各边为直径作半圆，求阴影
4、部分面积RtABC903,4ABC BAC题型三：实际问题中应用勾股定理如图有两棵树，一棵高 ，另一棵高 ，两树相距 ，一只小鸟从一棵树的8cm2c8cm树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 BACAB CDE1.如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点 AB 之间的距离是（ ）A 13 B 9 C 18 D 102.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走 8千米，又往北走 2 千米，遇到障碍后又往西走了 3 千米，再折向北走了 6 千米处往东一拐，仅走了 1 千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的距离是多少千米？3.有一
5、根 70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是 50 cm，40 cm ，30 cm 的木箱中，能放进去吗？题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形已知三角形的三边长为 ， ， ，判定 是否为abcABCRt ， ， ， ，1.5a2b.5c54a1b23c三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？abc10ab8c题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：ABC13cm10BCc12ADcmCBA82361AB_E_B_D_A_C_p1如图，ABC 中，B=90，两直角边 AB=7，BC=24，三角形内有一点 P 到各边的距
6、离相等，则这个距离为（ ）A1 B3 C4 D52.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 AB=6，BC=8，将三角形 ABC 折叠,使 AB落在斜边 AC 上,折痕为 AD,则 BD 的长为（ ）A3 B4 C5 D6题型六：最短问题如图是一个边长 6 厘米的立方体 ABCD-EFGH， 一只甲虫在棱 EF 上且距 F 点 1 厘米的 P 处. 它要爬到顶点 D，需要爬行的最近距离是 _厘米.有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm，AA 1、BB 1 为相对的两条母线。在 AA1 上有一个蜘蛛 Q，QA=4cm ；在 BB1 上有一只苍蝇 P，PB 1=3cm。蜘蛛沿圆柱体侧面
7、爬到 P点吃苍蝇，最短的路径是 cm.（结果用带 和根号的式子表示）HAA1BB1QPCDGP FEA B一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长（A）4 cm （B）8 cm （C ）10 cm （D）12 cm3. 已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）（A）25 （B）14 （C ）7 （D）7 或 254. 等腰三角形的腰长为 10,底长为 12,则其
8、底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）645. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 7152407152041572052041(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.7直角三角形边长为 ，斜边上高为 ，则下列各式总能成立的是（ ）ba,hA、 B C D2hab22hba12218. 三角形的三边长为 bcba2)(2,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角
9、形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.9.ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90，AC=30 米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮 a元计算，那么共需要资金（ ）.（A）50 a元 （B）600 a元 （C）1200 元 （D）1500元10.如图，ABCD 于 B，ABD 和BCE 都是等腰直角三角形，如果 CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）135米 3米 （第 10 题） （第 11 题） （第 14 题）二、填空题（每小题 3 分，24 分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3
10、米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.12. 在直角三角形 ABC中，斜边 =2，则 22ABC=_.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在ABC 中，C=90，BC=3，AC=4.以斜边 AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是_.（第 15 题） （第 16 题） （第 17 题）15. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.EABCDA B D C E 16. 如图，ABC 中，C=90，AB 垂直平分线交 BC 于 D， 若 BC=8，AD=5，则
11、 AC等于_.17. 如图，四边形 ABCD是正方形， AE垂直于 B，且 AE=3， B=4，阴影部分的面积是_.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为_cm 2.19.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_.三、解答题（每小题 8 分，共 40 分）20.P 为正方形 ABCD 内一点，将ABP 绕 B 顺时针旋转 90到CBE 的位
12、置，若BP8.求：以 PE 为边长的正方形的面积.21.如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCD第18题图7cm03ABBDACEp22.如 图 ， P 是 等 边 三 角 形 ABC 内 的 一 点 ， 连 接 PA， PB， PC， 以 BP 为 边 作 PBQ=60， 且 BQ=BP， 连 接 CQ（ 1） 观 察 并 猜 想 AP 与 CQ 之 间 的 大 小 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 ；（ 2） 若 PA： PB： PC=3： 4： 5， 连 接 PQ， 试 判 断 PQC 的 形 状 ， 并 说 明 理由 ABC D L
