1、第 1 页抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支） ，只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例一、焦半径、焦点弦性质如图，AB 是过抛物线 y22px（p0）焦点 F 的弦，AD、BC 是准线的垂线，垂足分别为D、C ， M 是 CD 的中点，N 是 AB 的中点设点 A
2、(x1，y 1)、点 B(x2，y 2)，直线 AB 交 y 轴于点 K(0，y 3)，则： y 1y2p 2； x 1x2 ； ；p24 1y1 1y2 1y3 | AB |x 1x 2p （ 为 AB 的倾斜角） ；2psin2 S OAB ，S 梯形 ABCD .p22sin 2p2sin3 ；1| AF | 1| BF | 2p AMB DFCRt ； AM、BM 是抛物线的切线； AM、BM 分别是DAB 和 CBA 的平分线； AM、DF 、y 轴三线共点，BM、CF 、y 轴三线共点； A、O、C 三点共线，B、O 、D 三点共线； 若| AF |：| BF |m：n，点 A 在
3、第一象限，为直线 AB 的倾斜角 . 则 cos ；m nm n 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 AB 为直径的圆与准线相切. MN 交抛物线于点 Q，则， Q 是 MN 的中点.K(0，y 3)CMDB(x2，y 2)R OF( ，0) p2A(x1，y 1)xyHGx p2NQ第 2 页 y 1y2p 2； x 1x2 ； p24 1y1 1y2 1y3 | AB |x 1x 2p （ 为 AB 的倾斜角） ；S OAB ，S 梯形 ABCD .2psin2 p22sin 2p2sin3【证明】设过焦点 F( ，0) 的 AB 的直线方程为 xm
4、y ，代入抛物线方程 y22px 得p2 p2y22pmyp 20，因此 y 1y2p 2，y 1y 22pm .另由得在 RtCFD 中，FRCD ，有| RF | 2| DR | RC |，而| DR | y 1 |，| RC | y2 |，| RF |p，且 y1 y20y 1y2p 2. 又点 A、B 在抛物线上，有 x1 ，x 2 ，y2 12py2 22p因此 x1x2 .y2 12py2 22p (y1y2)24p2 p24 ，1y1 1y2 y1 y2y1y2 2pm p2 2mp在直线 AB 方程 xmy 中令 x0，得 y3 ，代入上式得 p2 p2m 1y1 1y2 1y
5、3【证法一】根据抛物线的定义，| AF | AD |x 1 ，| BF | BC |x 2 ，p2 p2| AB | AF | BF |x 1x 2p又| AB | | y2y 1 |(x2 x1)2 (y2 y1)2 1 m2 1 m2(y1 y2)2 4y1y2 2p(1 m 2)1 m24m2p2 4p2当 m0 时，m ，有1k 1tan cossin1m 21 （k 为直线 AB 的斜率）cos2sin2 1sin2当 m0 时， 90，1m 21 也满足 1m 21sin2| AB |2p(1m 2) .2psin2【证法二】如图 2，过 A、B 引 x 轴的垂线 AA1、BB 1
6、，垂足为A1、B 1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cos，| AF | | RF |1 cos p1 cosCDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOA1B1F图 2CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOF( ，0)p2图 1第 3 页同理，| BF | | RF |1 cos p1 cos| AB | AF | BF | .p1 cos p1 cos 2psin2【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为 ，则p1 cos| AF | 1 ，| BF | 2 .p1 cos p1 cos( ) p1 cos| AB | AF | BF | .p1
7、 cos p1 cos 2psin2S OAB S OAF S OBF | OF | y1 | | OF | y1 | (| y1 | y 1 |)12 12 12 p2y 1y2p 2，则 y1、y 2 异号，因此，| y 1 | y 1 | y 1y 2 |S OAB | y1y 2 | .p4 p4(y1 y2)2 4y1y2 p44m2p2 4p2 p22 1 m2 p22sin又| CD | AB |sin ， | AD | | BC | | AB | .2psin 2psin2S 梯形 ABCD (| AD | | BC |)| CD | .12 12 2psin 2psin2 p
8、2sin3【例 1】 （2001 年新课程高考文）设坐标原点为 O，抛物线 y22x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 （ ）OA OB A. B. C. 3 D. 334 34【解】设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1x2y 1y2 p 2 ，故选 B.OA OB p24 34【例 2】 （2009 年福建理）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A、B两点，若线段 AB 的长为 8，则 p .【解】由性质得| AB | 8，p 4.2psin2 2psin245 8122 1| AF | 1| BF | 2p【证法一】由x 1x2
9、 ，且| AF |x 1 ，| BF |x 2 .p24 p2 p2 1| AF | 1| BF | 1x1 p2 1x2 p2 x1 x2 p(x1 f(p,2)(x2 f(p,2) x1 x2 px1x2 p2(x1 x2) p24 x1 x2 pp24 p2(x1 x2) p24x1 x2 pp2(x1 x2 p) 2p【证法二】由| AF | 1 ，| BF | 2 .p1 cos p1 cos( ) p1 cos第 4 页 1| AF | 1| BF | 11 12 1 cosp 1 cosp 2p【例 3】 （2000 全国）过抛物线 yax 2（a0）的焦点 F 用一直线交抛物线
10、于 P、Q 两点，若线段 PF与 FQ 的长分别是 p、q，则 等于 （ ）1p 1qA. 2a B. C.4a D. 12a 4a【解】由 yax 2 得 x2 y， （抛物线焦点到准线的距离为 ） ，由此得 4a，故选 C.1a 12a 1p 1q AMB DFCRt，先证明：AMBRt 【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 3，则ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | | BC | AD | BF | AF | AB |ABE 为等腰三角形，又 M 是 AE 的中点，BMAE，即AMBRt 【证法二】取 AB 的中点 N
11、，连结 MN，则| MN | (| AD | BC |) (| AF | BF |) | AB |，| MN | AN | BN |12 12 12ABM 为直角三角形， AB 为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得 C( ，y 2)、D ( ，y 1)，由此得 M( ， ).p2 p2 p2 y1 y22k AM ，同理 kBMy1 y1 y22x1 p2y1 y22y2 12p p p(y1 y2)y2 1 p2 p(y1 f( p2,y1)y2 1 p2 py1 py2k AMkBM 1py1 py2 p2y1y2 p2 p2BMAE，即AMBRt .【证法四】由已知得 C( ，y 2
12、)、D ( ，y 1)，由此得 M( ， ).p2 p2 p2 y1 y22 (x 1 ， )， (x3 ， )MA p2 y1 y22 MB p2 y2 y12 (x 1 )(x2 )MA MB p2 p2 (y1 y2)(y2 y1)4x 1x2 (x1 x2) p2 p24 (y1 y2)24CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFENM图 3CDBRAxyO F图 41 234M第 5 页 ( ) p24 p2y2 12p y2 22p p24 y2 1 y2 2 2y1y24 0p22 y1y22 p22 p22 ，故AMBRt .MA MB 【证法五】由下面证得DFC90
13、，连结 FM，则 FM DM.又 ADAF，故ADM AFM，如图 412，同理3423 1809012AMB Rt .接着证明：DFCRt【证法一】如图 5，由于| AD | AF |，ADRF，故可设AFDADF DFR ，同理，设BFCBCFCFR ，而AFDDFRBFCCFR1802( )180 ，即 90，故DFC90【证法二】取 CD 的中点 M，即 M( ， )p2 y1 y22由前知 kAM ， kCF py1 y2 p2 p2 y2p py1k AMk CF， AM CF， 同 理 ， BM DF DFC AMB 90.【证法三】 (p，y 1)， (p，y 2)，DF CF
14、 p 2y 1y20DF CF ，故DFC90.DF CF 【证法四】由于| RF | 2p 2y 1y2| DR | RC |，即 ， 且 DRF FRC 90| DR | RF | RF | RC | DRFFRCDFRRCF，而RCF RFC90DFRRFC90DFC90【例 4】 （2009 年湖北文）如图 7，过抛物线 y22px（P 0）的焦点F 的直线与抛物线相交于 M、 N 两点，自 M、N 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M1、N 1，求证：FM 1FN 1图 5CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOF( ，0) p2CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyO
15、FM图 6GHD1N1 NMxyO F图 7M1l第 6 页 AM、BM 是抛物线的切线【证法一】k AM ，AM 的直线方程为 yy 1 (x )py1 py1 y2 12p与抛物线方程 y22px 联立消去 x 得yy 1 ( )，整理得 y22y 1y 0py1y22p y2 12p y2 1可见(2y 1)24 0，y2 1故直线 AM 与抛物线 y22px 相切，同理 BM 也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程 y22px，两边对 x 求导， ，(y2) x (2px) x得 2y 2p， ，故抛物线 y22px 在点 A(x1，y 1)处的切线的斜率为 k 切 | y
16、y1 .y x y x py y x py1又 kAM ，k 切 k AM，即 AM 是抛物线在点 A 处的切线，同理 BM 也是抛物线的切线.py1【证法三】过点 A(x1，y 1)的切线方程为 y1yp(xx 1)，把 M( ， )代入p2 y1 y22左边y 1 px 1 ，y1 y22 y2 1 y1y22 2px1 p22 p22右边p( x 1) px 1，左边右边，可见，过点 A 的切线经过点 M，p2 p22即 AM 是抛物线的切线，同理 BM 也是抛物线的切线. AM、BM 分别是DAB 和CBA 的平分线【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 9，则ADMEC
17、M，有 AD BC，ABBE，DAMAEB BAM，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA .【证法二】由图 9 可知只须证明直线 AB 的倾斜角 是直线 AM的倾斜角 的 2 倍即可，即 2 . 且 M( ， )p2 y1 y22 CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFENM图 9CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFM图 8D1第 7 页tan k AB .y2 y1x2 x1y2 y1y2 22py2 12p 2py1 y2tank AM .y1 y1 y22x1 p2y1 y22y2 12p p p(y1 y2)y2 1 p2 p(y1 f( p2,y1)
18、y2 1 p2 py1tan 2 tan 2tan1 tan2 2py11 (f(p,y1)22py1y2 2 p22py1y2 2 y1y2 2py1 y2 2 ，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA. AM、DF、y 轴三线共点，BM、CF、y 轴三线共点【证法一】如图 10，设 AM 与 DF 相交于点 G1，由以上证明知| AD | AF |，AM 平分DAF ，故 AG1 也是 DF 边上的中线，G 1 是 DF 的中点.设 AD 与 y 轴交于点 D1，DF 与 y 轴相交于点 G2，易知，| DD 1 | | OF |，DD 1OF，故DD 1G2FOG 2| DG 2
19、| FG 2 |，则 G2 也是 DF 的中点.G 1 与 G2 重合（设为点 G） ，则 AM、DF 、y 轴三线共点，同理 BM、CF、 y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为 yy 1 (x )，py1 y2 12p令 x0 得 AM 与 y 轴交于点 G1(0， )，y12又 DF 的直线方程为 y (x )，令 x0 得 DF 与 y 轴交于点 G2(0， )y1p p2 y12AM、DF 与 y 轴的相交同一点 G(0， )，则 AM、DF、y 轴三线共点，y12同理 BM、CF、 y 轴也三线共点 H由以上证明还可以得四边形 MHFG 是矩形. A、O、C 三点共线，B、
20、O 、D 三点共线【证法一】如图 11，k OA ，y1x1y1y2 12p 2py1kOC y2 p2 2y2p 2py2p2 2py2 y1y2 2py1k OA kOC，则 A、O、C 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOF图 11CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFM图 10GHD1第 8 页【证法二】设 AC 与 x 轴交于点 O，AD RF BC ， ，| RO | AD | | CO | CA | | BF | AB | | OF | AF | | CB | AB |又| AD | AF | ，| BC | BF
21、|， | RO | AF | | OF | AF | RO | OF |，则 O与 O 重合，即 C、O、A 三点共线，同理 D、O 、B 三点也共线.【证法三】设 AC 与 x 轴交于点 O，RFBC， ，| OF | CB | | AF | AB | O F | 【见证】| CB | AF | AB | | BF | AF | AF | | BF | 11| AF | 1| BF | p2O与 O 重合，则即 C、O、 A 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法四】 ( ，y 2)， (x 1，y 1)，OC p2 OA y1x 1 y2 y1 y2 0p2 p2 y2 12p p
22、y12 y1y2y12p py12 p2y12p ，且都以 O 为端点OC OA A、O、C 三点共线，同理 B、O 、D 三点共线.【推广】过定点 P(m，0) 的直线与抛物线 y22px（p0）相交于点 A、B，过 A、B 两点分别作直线l：xm 的垂线，垂足分别为 M、N，则 A、O 、N 三点共线，B、O、M 三点也共线，如下图： OyNMBAP xOyNMB AP x【例 5】 （2001 年高考）设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴. 证明直线 AC 经过原点 O.【证法一】因为抛物线 y22
23、px（p0）的焦点为 F( ， 0)，所以经p2过点 F 的直线 AB 的方程可设为 xmy ；p2代入抛物线方程得 y22pmyp 20设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1，y 2 是该方程的两个根，y 1y2p 2因为 BCx 轴，且点 C 在准线 x 上，故 C( ，y 2)，p2 p2 C B(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOF图 12第 9 页直线 CO 的斜率为 kOC k OA.y2 p2 2py1 y1x1直线 AC 经过原点 O.【证法二】如图 13，过 A 作 ADl，D 为垂足，则：ADEFBC连结 AC 与 EF 相交于点 N，则 ， | EN
24、 | AD | | CN | AC | | BF | AB | | NF | BC | | AF | AB |由抛物线的定义可知：| AF | AD |，| BF | BC | EN | | NF |.| AD | BF | AB | | AF | BC | AB |即 N 是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC 经过原点 O. 若| AF |：| BF |m：n，点 A 在第一象限， 为直线 AB 的倾斜角. 则 cos ；m nm n【证明】如图 14，过 A、B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 D，C，过 B 作 BEAD 于 E，设| AF | mt， | AF
25、 |nt，则| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn) t在 RtABE 中，cos BAE | AE | AB | (m n)t(m n)t m nm ncos cos BAE .m nm n【例 6】设经过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线与抛物线相交于两点A、B ，且| AF |：| BF |3：1，则直线 AB 的倾斜角的大小为 .【答案】60或 120. 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 AB 为直径的圆与准线相切.【说明】如图 15，设 E 是 AF 的中点，则 E 的坐标为( ， )，p2
26、 x12 y12则点 E 到 y 轴的距离为 d | AF |p2 x12 12故以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，同理以 BF 为直径的圆与 y 轴相切.【说明】如图 15，设 M 是 AB 的中点，作 MN准线 l 于 N，则| MN | (| AD | BC |) (| AF | BF |) | AB |12 12 12则圆心 M 到 l 的距离| MN | | AB |，12CDB(x2，y 2)EA(x1，y 1)xyOF图 13NCDBRAxyOEF图 14lCDBRAxyO F图 15lMNE图 16第 10 页故以 AB 为直径的圆与准线相切. MN 交抛物线于点 Q，则 Q 是 MN 的中点.【证明】设 A( ，y 1)，B( ，y 1)，则 C( ，y 2)，D( ，y 1)，y2 12py2 22p p2 p2M( ， )，N ( ， )，p2 y1 y22 y2 1 y2 24p y1 y22设 MN 的中点为 Q，则 Q ( ， ) p2 y2 1 y2 24p2 y1 y22 p2 y2 1 y2 24p2 2p2 y2 1 y2 28p2y1y2 y2 1 y2 28p(y1 y22 )2 2p点 Q 在抛物线 y22px 上，即 Q 是 MN 的中点.
