1、 1 选修 1-1第三章 导数及其应用质量评估 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1 曲线 y 12x2 2x 在点 1， 32 处的切线的倾斜角为 ( ) A 135 B 45 C 45 D 135 2 下列求导运算正确的是 ( ) A. x 3x 1 3x2 B (log2x) 1xln 2 C (3x) 3xlog3e D (x2cos x) 2xsin x 3 函数 y x4 2x2 5 的单调减区间为 ( ) A ( ， 1)及 (0， 1) B ( 1， 0)及 (1， ) C ( 1， 1) D
2、 ( ， 1)及 (1， ) 4 函数 y 1 3x x3有 ( ) A 极小值 1，极大值 1 B极小值 2，极大值 3 C 极小值 2，极 大值 2 D极小值 1，极大值 3 5 函数 f(x) x2x 1( ) A 在 (0， 2)上单调递减 B 在 ( ， 0)和 (2， ) 上单调递增 C 在 (0， 2)上单调递增 D 在 ( ， 0)和 (2， ) 上单调递减 6 函数 y x4 4x 3 在区间 2， 3上的最小值为 ( ) A 72 B 36 C 12 D 0 7 已知 f(x) x3 ax2 (a 6)x 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ( ) A 1 a 2
3、B 3 a 6 C a 1 或 a 2 D a 3 或 a 6 8 已知 f(x)的导函数 f( x)图象如右图所示， 那么 f(x)的图象最有可能是图中的 ( ) 2 9 函数 f(x) x3 ax 2 在区间 (1， ) 内是增函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 3， ) B 3， ) C ( 3， ) D ( ， 3) 10 设曲线 y xn 1(n N*)在 (1， 1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 log2 010x1 log2 010x2 log2 010x2 009的值为 ( ) A log2 0102 009 B 1 C (log2 0102 009)
4、1 D 1 二、填空题 (本大题 共 5 小题， 每小题 5 分，共 25分 把答案填在题中横线上 ) 11 若 f(x) x3， f( x0) 3，则 x0的值为 _ 12 已知函数 y f(x)的图象在点 M(1， f(1)处的切线方程 是 y 12x 2，则 f(1) f(1) . 13 函数 y x3 x2 5x 5 的单调递增区间是 14 设 x 2与 x 4是函数 f(x) x3 ax2 bx的两个极值点，则常数 a b的值为 _ 15 已知函数 f(x) x3 ax2 bx c， x 2,2表示过原点的曲线，且在 x 1 处的切线的倾斜角均为 34 ，有以下命题 ， 其中正确命题
5、的序号为 f(x)的解析式为 f(x) x3 4x， x 2,2 f(x)的极值点有且只有一个 f(x)的最大值与最小值之和等于零 三、解答题 (本大题共 6 小题， 共 75 分 解答时写出必要的文字说明、证明 或演算步骤 ) 16 (12 分 )设 函数 f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8， a R.若 f(x)在 x 3 处取得极值 (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在点 A(1， 16)处的切线方程 3 17 (12 分 )已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 在 x 1与 x 2 处都取得极值 (1)求 a， b 的 值及函数 f(x)的单调区间； (
6、2)若对 x 2， 3，不等式 f(x) 32c0.x(0 ， 1)和 (1， 2)时， f( x)1 时， y0得 y 极小值 y|x 1 0，而端点的函数值 y|x 2 27， y|x 3 72，得 ymin 0.答案 D 7 解析 ： 因为 f(x)有极大值和极小值，所以导函数 f( x) 3x2 2ax (a 6)有两个不等实根，所 以 4a2 12(a 6) 0，得 a 3 或 a 6.答案 D 8 解析 ： x( ， 2)时， f( x)0 得 x1.答案 ， 35 ， (1， ) 14 解析 f( x) 3x2 2ax b， 2 4 2a3 ， 24 b3a 3，b 24. a
7、b 3 24 21.答案 21 15.解析 ： f( x) 3x2 2ax b，由题意 f(0) 0， f( 1) f(1) tan 34 1. c 03 2a b 13 2a b 1 a 0， b 4， c 0. f(x) x3 4x， x 2,2故 正确 由 f( x) 3x2 4 0 得 x1 2 33 ， x2 2 33 . 根据 x1， x2分析 f( x)的符号、 f(x)的单调性和极值点 . x 2 ( 2， 2 33 ） 2 33 ( 2 33 ， 2 33 ) 2 33 (2 33 ， 2) 2 f( x) 0 0 f(x) 0 16 39 16 39 0 x 2 33 是极
8、大值点也是最大值点 x 2 33 是极小值点也是最小值点 f(x)min f(x)max 0. 错， 正确 答案 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 75 分解答时写出必要的文字说明、证明 或演算步骤 ) 16 解 ： (1)f( x) 6x2 6(a 1)x 6a. f(x)在 x 3 处取得极值， f (3) 69 6(a 1)3 6a 0，解得 a 3. f(x) 2x3 12x2 18x 8. (2)A 点在 f(x)上，由 (1)可知 f( x) 6x2 24x 18， f (1) 6 24 18 0， 7 切线方程为 y 16. 17.解 ： (1)f( x) 3x2 2ax b
9、，由题意得 f （ 1） 0，f （ 2） 0， 即 3 2a b 0，12 4a b 0， 解得 a 32，b 6. f(x) x3 32x2 6x c， f( x) 3x2 3x 6. 令 f( x)0，解得 x2. f(x)的减区间为 ( 1， 2)，增区间为 ( ， 1)， (2， ) (2)由 (1)知 f(x)在 ( ， 1)上单调递增；在 ( 1， 2)上单调递减；在 (2， ) 上单调递增 x 2， 3时， f(x)的最大值即为 f( 1)与 f(3)中的较大者 f( 1) 72 c， f(3) 92 c. 当 x 1 时， f(x)取得最大值 要使 f(x) 32cf( 1)
10、 32c，即 2c27 5c，解得 c72. c 的取值范围为 ( ， 1) 72， 18解 :f( x) x2 ax a 1， 由题意知 f (x)0 在 (1,4)上恒成立，且 f( x)0 在 (6， ) 上恒成立 由 f( x)0 得 x2 ax a 10 ，即 x2 1 a(x 1) x (1,4)， x 1 (0,3)， a x2 1x 1 x 1. 又 x 1 (2,5)， a5 ， 由 f( x)0 得 x2 ax a 10 ，即 x2 1 a(x 1) x (6， ) ， x 10， a x2 1x 1 x 1. 又 x 1 (7， ) ， a7 ， 同时成立， 5 a7.
11、经检验 a 5 或 a 7 都符合题意， 所求 a 的取值范围为 5 a7. 19 解 ： 设每次订购电脑的台数为 x，则开始库存量为 x 台，经过一个周期的正常均匀销8 售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为 12x 台，所以每年的保管费用为 12x4 00010% 元，而每年的订货电脑的其它费用为 5 000x 1 600 元，这样每年的总费用为 5 000x 1 600 12x4 00010% 元 令 y 5 000x 1 600 12x4 00010% ， y 1x25 0001 600 124 00010%. 令 y 0， 解得 x 200(台 ) 即 当 x
12、200 台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值 80 000 元 20 解 ： f( x) 3ax2 b. (1)由题意得f （ 2） 12a b 0，f（ 2） 8a 2b 4 43， 解得 a 13，b 4，故所求函数的解析式为 f(x) 13x3 4x 4. (2)由 (1)可得 f( x) x2 4 (x 2)(x 2)，令 f( x) 0，得 x 2 或 x 2. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 2) 2 ( 2， 2) 2 (2， ) f( x) 0 0 f(x) 283 43 因此，当 x 2 时， f(x)有极大值 283
13、 ， 当 x 2 时， f(x)有极小值 43， 所以函数 f(x) 13x3 4x 4 的图象大致如图所示 若 f(x) k有 3个不同的根，则直线 y k与函数 f(x)的图象有 3个交点，所以 431 时， f( x)0， f(x)在 1， e上是增函数， f(x)的最小值是 f(1) 1，最 大值是 f(e) 1 e2. (2)证明 令 F(x) f(x) g(x) 12x2 23x3 ln x， F( x) x 2x2 1x x2 2x3 1x x2 x3 x3 1x x x2 xx . x1， F( x)0，函数 f(x) x3 ax 在 1， ) 上是单调减函数，则 a 的最大值
14、为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 7若函数 f(x) asin x 13cos x 在 x 3 处有最值，那么 a 等于 ( ) A. 33 B 33 C. 36 D 36 解析： A。 f( x) acos x 13sin x，由题意 f 3 0，即 a 12 13 32 0， a 33 。 8函数 y x sin x， x 2 ， 的最大值是 ( ) A 1 B. 2 1 C D 1 解析： C。 y 1 cos x0 ，所以 y x sin x 在 2 ， 上为增函数 当 x 时，ymax . 9函数 f(x) x1 x的单调增区间是 ( ) A ( ， 1) B
15、(1， ) C ( ， 1)， (1， ) D ( ， 1)， (1， ) 解析： C f( x) x x x x x 2 1 x x x 2 1 x 20， 又 x1 ， f(x)的单调增区间为 ( ， 1)， (1， ) 10. 曲线 y ln x 在点 M(e， 1)处的切线的斜率是 _，切线的方程为 解析 :由于 y 1x， k y| x e 1e，故切线的方程为 y 1 1e(x e)，故 y 1ex. 答案 1e ， x ey 0 11设函数 f(x) ax3 3x 1 (x R)，若对于 x 1， 1，都有 f(x)0 ，则实数 a的值为 解析 ： 4。 若 x 0，则不论 a 取何值， f(x)0 ，显然成立； 当 x (0,1时， f(x) ax3 3x 10 可转化为 a 3x2 1x3，
