1、最短路线和最速降线一、最短路线1问题 设一辆汽车停止于 处并垂直于 方向，此汽车可转弯的最小圆半径为 ,求ABR不倒车时由 移到 的最短路线。AB（1）讨论 的情形。2R（2）简单讨论 的情形。2假设 将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。3建模 （1）讨论 的情形。以 为 轴正向，作一2ABABY半径为 的圆 与 轴切于 点，问题就是要找一条最短曲线连RX结 ，在 点切于 轴正向，且任一点的曲率半径不小于 。AB R直观上不难猜测出最短路径。从 点向圆 做切线 ，那C么由 点沿圆弧 移到 点，再沿直线移到 点，这就是最短C路径（如图 1 所示） 。为了证明这一事实，作一条直线 通过圆
2、 的中心 和 点。lO假设汽车沿某一条曲线 由 点移到 点，因 、 分别1ABA在直线 两侧， 与 必有一交点 被分成弧 和弧 两l1l1,C11C段。因 与 垂直，弧 的长度必不小于线段 的长度（当BC1B且仅当弧 与线段 重合时才可能相等） 。设弧 的参数方程为 1 1A图 1(),(),0,()0xsyxy其中 为弧长。在点 处，曲线的切线与 轴的夹角记为 ，依条件有sX1dsR当 时， 故0s， 0001,ss从而。sR研究曲线上的点与直线 的距离（在 的右边为正）ll()cos()sin,JsxyBOC因为 cos,indxy故 00()(),si()sttd因此 00()cos()
3、sin(i)sJtdtRRA当 时，有 当 时, 。t()t。 ()t()tttR故 cos()cos故当 时，0()R0()cos()sini()0t sJdR这就是说，当汽车移动距离不超过 （就是弧 的长度）时，它不可能越过RAC直线 。因此弧 的长度至少为 ,并且只有当弧 与 完全重合时，它的长l1AC()1度才能等于 。()R总结上述讨论，知曲线 的长度必不小于 并且只有当 与1()tan,R1重合时才可能相等。因此 是唯一的最短路径。ACBACB（2）若 点在圆 内，即 则应过 点作一半径 的圆，其圆心在 延长2,ABA线上，再过 点作一圆，半径为 ，且与前圆切于点 ，则最短路径是弧
4、 和弧CC所D组成的曲线（如图 2 所示） 。图 2二、最速降线1问题 意 大 利 科 学 家 伽 利 略 在 1630 年 提 出 一 个 分 析 学 的 基 本问 题 “铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点 A,B, 如图 3,求连接它们的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从 A 点滑到 B 点（摩擦力不计） ”。他 说 这 曲 线 是 圆 ， 可 是 这 是 一个 错 误 的 答 案 。 瑞 士 数 学 家 约翰伯努利在 1696 年 再 提 出 这 个 最 速 降 线 的 图 3问 题 （ problem of brachistochrone） ， 征 求 解 答 。 次
5、 年 已 有 多 位 数 学 家 得 到 正 确 答 案 ，其 中 包 括 牛 顿 、 莱 布 尼 兹 、 洛 必 达 和 伯 努 利 兄 弟 。 牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅各布 伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这 问 题 的 正 确 答 案 是 连 接 两 个 点 上 凹 的 唯 一 一 段 旋 轮 线 或圆 滚 线 。 旋 轮 线 与 1673 年 荷 兰 科 学 家 惠 更 斯 讨 论 的 摆 线 相 同 。 因 为 钟 表 摆 锤 作 一 次 完全 摆 动 所 用 的 时 间 相 等 ， 所 以 摆 线 （ 旋 轮
6、 线 ） 又 称 等 时 曲 线 。 数 学 家 十 分 关 注 最 速 降 线 问 题 ， 大 数 学 家 欧 拉 也 在 1726 年 开 始 发 表 有 关 的 论 著 ，在 雅各布 伯努利方法的基础上， 1744 年 最 先 给 了 这 类 问 题 的 普 遍 解 法 ， 并 产 生 了 变 分 法这 一 新 数 学 分 支 。 现在来看，雅各布的方法是最有意义和价值的。2假设 质点在滑动过程中不考虑空气阻力。3模型 尽管 A，B 两点间的最短距离是连接它们的直线，但是沿直线运动时速度增长较慢，如果沿一条陡峭的曲线下滑，虽然路径加长，但运动速度增长很快。为了求这条运动时间最短的曲线，在
7、图 3 中将 A 点取为坐标原点（0,0） ，B 点坐标为（x1,y1） ，连接 A，B 的曲线记为 y(x)，于是曲线上的弧长为 .根据能量守=1+2恒定律，质点在曲线 y(x)上任一点的速度 满足 ,其中 m 是质点的质量，g 12()2=是重力加速度。将上面 ds 的关系代入，得到 ,于是质点沿曲线 y(x)从 A 点=1+22滑到 B 点的时间可表示为(1)()=10 1+22y(x)在 A，B 两个端点应有y(0)=0,y(x1)=y1 (2)最速降线问题归结为求 y(x)，在满足（2）的条件下，使（1）的 J(y(x)达到最小。4求解 约翰 伯努利设想质点也像光线那样按从 A 到
8、B 耗时最少的路径滑行，根据光学原理（史奈尔折射定律）得sin()cv常 数（3） 由能量守恒定律得 2vgy（4） 由几何关系得 2211sincosetany（5） 由（3） 、 （4） 、 （5）得2(1)yb 21bgc其 中（6）12211tan(),sin,si2,i,(2sin)0,0,(si)1co2,(sin)1co,1ybdybdxcxycbxybaxyby2则 积 分 后 得=由 曲 线 过 原 点 知 ,时 于 是 故令 则也 可 令 =t则 cot22sin,si2,sin.dybdxdy上述解法让我们见识了数学建模中的类比想象能力是何等的宝贵。现实世界各种现象之间的模拟是一种重要的科研方法。约翰伯努利解决最速降线的方法非常奇妙，表现出惊人的想象力，可以说是一项水平极高的艺术工作。5应用 滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的滑面是旋轮线。旋轮线滑面上的小朋友可以最短时间到达地面。最速降线在建筑中也有着美妙的应用。我国古建筑中的“大屋顶”，从侧面看上去， “等腰三角形”的两腰不是线段，而是两段最速降线。按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最快的速度流走，从而对房屋起到保护的作用。谢谢！
