1、1椭圆综合题一、椭圆中的定值、定点问题1、已知 椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一 象限弧上一点，且 12P，过 P作关于直线 F1P对称的两条直线 PA、PB 分别交椭来源:学科网 圆于 A、B 两点。 （1）求 P点坐标；（2）求证直线 AB的斜率为定值；2、 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2:13xCy.如图所示，斜率为 (0)k 且不 过原点的直线 l交椭圆 C于 A， B两点，线段 A的中点为 E， 射线 OE交椭圆C于点 G，交直线 3x于点 (,)Dm.（）求 2k的最小值；（）若2OD E，求证：直线 l过定点；椭圆中的取值范围
2、问题1、已知直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于相异两点 A、 B， ly(0,)Pm2:1Cxy且 ，求 的取值范围3APB22、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 )0,1(A、 ),(B，一个顶点为)0,(H.（1）求椭圆 的标准方程；（2）对于 x轴上的点 )0,(tP，椭圆 E上存在点 M，使得 HP，求 t的取值范围. 椭圆中的最值问题1.如图， DPx轴，点 M在 DP的延长线上，且 |2|DMP当点 P在圆21y上 运动时。 （I）求点 M的轨迹 C的方程；（）过点 2(0,)1Tty作 圆 的切线 l交曲线 C于 A，B 两点，求AOB 面 积 S的最大值和相应
3、的点 T的坐标。2、已知椭圆 .过点 作圆 的切线 交椭圆 G于 A,B两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m的函数，并求|AB|的最大值.3一|：1、解：（1）设椭圆方程为21yxab，由题意可得 2,abc，所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F，设 00(,),)Px则 02PxyFy21()1来源:学_科_网 Z_X_X_K点 0(,)xy在曲线上，则20.4xy22004yx从而22004()1，得 0，则点 P的坐标为 (1,)。（2）由（1）知 1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为 (0)k，则 PB 的直线方程为：
4、 2(1)ykx 由 214yx得 2 2()()()40kx设 (,)Bxy则22()1Bk同理可得2Ak，则 24ABkx28(1)()BAyxk所以直线 AB 的斜率 BByx为定值。2、 解：（）由题意:设直线 :(0)lykxn,由 213x消 y得: 22(3)630xkn,2264()(1)knk2(1)4设 A 1(,)xy、B 2(,),AB的中点 E 0(,)xy,则由韦达定理得: 来源:学科网2=63kn,即 0231knx, 231kn213nk,所以中点 E的坐标为 (,),因为 O、E、D 三点在同一直线上，所以 kK，即 13mk， 解得 1k，所以 2m= 21
5、,当且仅当 时取等号, 即 2的最小值为 2.（）证明:由题意知:n0,因为直线 OD的方程为 yx,所以由 231myx得交点 G的纵坐标为23Gm,又因为 213Enyk, Dy,且 2OD E，所以221nk,又由（）知: m,所以解得 kn,所以直线 l的方程为 :lyx,即有 :(1)lyx, 令 1得,y=0,与实数 k无关,二：1、 解：（1）当直线斜率不存在时： 2（2）当直线斜率存在时：设 与椭圆 C交点为 l12(,)(,)AxyB得 21ykxm22()0kxkm（*） ()44()2121,xxkk ， ，3APB23 . 消去 ，得 ，12xx211()40x223(
6、)0km整理得 245时，上式不成立； 时， ， 214m214m221mk ， 或20k把 代入（*）得 或224121 或 m综上 m 的取值范围为 或 。21m2、解：（1）由题意可得， 1c， a， 3b 所求的椭圆的标准方程为：214xy （2）设 ),(0yxM)2（ ，则 203 且 ,(0yxtP， ),(0yxMH， 由 可得 ，即 )2(200t 由、消去 y整理得 341)2(00xxt 0x 241)2(t 0， t t的取值范围 为 )1,(. 三：1、 解:设点 M的坐标为 yx,，点 P的坐标为 0yx，则 0x， 02，所以 0， 2， 因为 ,yP在圆 1y上
7、，所以 10yx 将代入，得点 的轨迹方程 C的方程为 42 （）由题意知， 1|t6当 1t时，切线 l的方程为 1y，点 A、B 的坐标分别为 ),123(,(此时 3|AB，当 t时，同理可得 |AB； 当 1t时，设切线 l的方程为 ,mkxyR由 ,142xtky得 042)(t设 A、B 两点的坐标分别为 ),(,21yx，则由得：22121 4,4ktktx又由 l与圆 2y相切，得 ,1|2t即 .12kt 所以 2121)()(|xAB 4)()(222kttk .3|t因为 ,|3|4|3|2tt且当 3t时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2来源:学.科.网 Z.X
8、.X.K依题意，圆心 O到直线 AB的距离为圆 12yx的半径，所以 AB面积 AS，当且仅当 3t时， 面积 S的最大值为 1，相应的 T的坐标为 3,0或者 ,2、 解：由题意知， .|1m7当 时，切线 的方程为 ，点 A,B的坐标分别为 ，1ml1x3(1,),)2此时 ；|3AB当 时，同理可得 ；1|当 时，设切线 的方程为 .ml()ykxm由 得 .2()14ykx222(4)840k设 A,B两点的坐标分别为 .12(,),xy又由 与圆 相切， 得 ，即 .l2xy2|km21k所以 2 2111|()()()4AByxx.422264()kk23|m由于当 时， ，1m|3，243|4| 2|ABm当且当 时， .所以|AB|的最大值为 2.m|AB
