椭圆-双曲线抛物线必背的经典结论.doc

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1、新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 1 -新梦想教育辅导讲义学员编号（卡号）：年级：第课时学员姓名：辅导科目：教师：课题授课时间：月日备课时间：月日教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容椭圆双曲线抛物线必背的经典结论椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1为直径

2、的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是 .0(,)xy21xyab0P021xyab6. 若在椭圆外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是,P2.021ab7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为2xy 12F.12tnFPS8. 椭圆（ab0）的焦半径公式：xy, ( , ).1|Me20|ex1)Fc2(0)0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦

3、点 F 的椭圆准线于M、N 两点，则 MFNF.新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 2 -10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则MFNF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则，21xyab),(0yx2OMABbka即。02KAB12. 若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab13. 若在椭圆内，则过

4、Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 022双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角.2. PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是 .0(,)xy21xyb0021xyab6. 若在双曲线（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦

5、 P1P2的,2直线方程是 .02a7. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦1xyb 12F点角形的面积为 .12tFPSc8. 双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 2xy1(0)c2()当在右支上时， , .0(,)M10|Mexa2|Fexa当在左支上时， ,09. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2为双曲线

6、实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则，21xyb),(0yx 02yaxbKABO新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 3 -即。02yaxbKAB12. 若在双曲线（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)P21yb 2002xyxyab13. 若在双曲线（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .,xy2x 2椭圆与双曲线的对偶性质-（会

7、推导的经典结论）椭圆1. 椭圆（abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交211(0)Aa2()点的轨迹方程是 .2xy2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有21ab0(,)xy定向且（常数）.0BCxky3. 若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, , ，则21 12PF21.tantco4. 设椭圆（ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F2中，记21xy, , ，则有 .12FP1

8、2F12Psincea5. 若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e 时，可在椭圆上求一点2xy 21P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6. P 为椭圆（ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2xy,当且仅当三点共线时，等号成立.211|2|aAFF2,P7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是002()()xyb0xByC.222Bx8. 已知椭圆（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1）1 OPQ新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育

10、圆（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , ,2xyab PABPBA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) .(3) P2|cos|abA2tan1e.2otABSba13. 已知椭圆（ ab0）的右准线与 x 轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点21xylEF在右准线上，且轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClCx14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.

11、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 5 -1. 双曲线（a0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2时21xyb1(0)Aa2()A1P1与 A2P2交点

12、的轨迹方程是 .2xyb2. 过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则1xyb0(,)xy直线 BC 有定向且（常数）.20BCxk3. 若 P 为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, , 21xyb 12PF，则（或）.21Ftnt2ccotant2co4. 设双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF 1F2中，2xyb记 , , ，则有 .12FP12F12Psin()cea5. 若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准

13、线为 L，则当 1e 时，可在双曲2xyb 2线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6. P 为双曲线（a0,b0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则2xyb,当且仅当三点共线且和在 y 轴同侧时，等号成立.21|AFF2,P2,F7. 双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是 .2xyb0xByC22AaBbC8. 已知双曲线（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且 .2 OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2的最小值为 ;（3）的最小值是 .1|OPQ 24abS2ba9. 过双

14、曲线（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴2xyb于 P，则 .|FeMN10. 已知双曲线（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 ,21xyb 0()Px新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 6 -则或 .20abx20abx11. 设 P 点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记，则(1)21y 12PF.(2) .1|cosbF12cotPFSb12. 设 A、B 是双曲线

15、（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点， , 2xy AB, ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) .P 2|cos|abP(2) .(3) .2tan12cotPABbSa13. 已知双曲线（a0,b0）的右准线与 x 轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于2xyblEFA、B 两点,点在右准线上，且轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClC14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

16、直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线结论一：若 AB 是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。2(0)ypx1(,)Axy2,B214px21y结论二：（1）若 AB 是抛物线的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为，则（0）。（2）焦点弦中通2sinP径（过焦点且垂直于抛物线对称轴

17、的弦）最短。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。结论四：若抛物线方程为 2(0)ypx，过（，0）的直线与之交于 A、B 两点，则 OAOB。反之也成立。2p结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的2()2xty，2xpyP2()ptO新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 7 -顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率2OPptkt OPaAC C(X3,Y3)BO FB

18、(X2,Y2)A(X1,Y1)基础回顾1. 以 AB 为直径的圆与准线相切；L2. ;214pxA3. ;2y4. ;90CB5. ;F6. ;1232()sinpAxx7. ;BP8. A、O、三点共线；9. B、O、三点共线；10. ；2sinSA11. （定值）；3()BP12. ；；1cosF1cosPF13. 垂直平分；C14. 垂直平分；A15. ；B新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 8 -16. ；2ABP17. ；1()CAB18. ；AB3K=y19. ;2ptanx-20. ;4F21.

19、.1CB222. 切线方程 xmy00性质深究一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上先猜后证：当弦轴时，则点 P 的坐标为在准线上xAB0,2p结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径

20、3、AB 是抛物线（ p0）焦点弦，Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线，，，过 A，B 的切线相y2 lA1l1交于 P，PQ 与抛物线交于点 M则有结论 6PA PB结论 7PF AB结论 8 M 平分 PQ结论 9 PA 平分 A1AB， PB 平分 B1BA结论 102PF结论 11 ABSminp新梦想教育- 专业中小学辅导机构新梦想教育有梦想有未来新梦想教育用心开始新梦想教育教导处 - 9 -二)非焦点弦与切线思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，也有与上述结论类似结果：结论 12 ，pyx2121y结论 13 PA 平分 A1AB，同理 PB 平分 B1BA结论 14 PF结论 15 点 M 平分 PQ结论 16 2B学生对于本次课的评价：特别满意满意一般差学生签字：教师评定：1、学生上次作业评价：好较好一般差2、学生本次上课情况评价：好较好一般差教师签字：教学主管意见：家长签字： _新梦想教务处

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