1、专题 39 数列与数学归纳 法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数 n的命题（例如数列，不等式，整除问题等） ，则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设 k成立，再结合其它条件去证 1nk成立即可.证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证 0n（ 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设 ,kN成立，证明当 1nk时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： 0n时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（
2、1）数学归纳法所证命题不一定从 1开始成立，可从任意一个正整数 0n开始，此时归纳验证从 0n开始 （2）归纳假设中，要注意 0kn，保证递推的连续性（3）归纳假设中的 ，命题成立，是证明 1nk命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找 1n与 的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设 nk命题成立时，可用的条件只有 k，而不能默认其它 nk的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设 ，命题均成立，然后证明 1命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证 0n（ 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归
3、纳假设：假设 ,kN成立，证明当 1nk时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： 0n时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认 n 的初始值 n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】例 1.【2018 届重庆市第一中学 5 月月考】已知 为正项数列 的前 项和，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求得 ，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解：由题意结合 ，以下用数学归纳法进行证明：当 时，结论是成立的，假设当 时，数列的通项公式为： ，则 ，由题意可知：
4、，结合假设有： ，解得： ，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知： ， ，利用等差数列前 n 项和公式可得： ，则 ，结合对勾函数的性质可知，当 或 时， 取得最小值，当 时 ，当 时 ，由于 ，据此可知 的最小值为 .点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法例 2. 设 Sn为数列a n的前 n 项和，满足 Sn2a n2 (nN *)（1）求 的值，并由此猜想数列a n的通项公式 an；（2）用
5、数学归纳法证明（）中的猜想【答案】 （1） ；（2）见解析.当 n4 时，a 1a 2a 3a 4S 42a 42，a 416. 由此猜想： (nN *) (2)证明：当 n1 时，a 12，猜想成立 假设 nk(k1 且 kN *)时，猜想成立，即 ， 那么 nk1 时，ak1 S k1 S k2a k1 2a k a k1 =2ak ， 这表明 nk1 时，猜想成立，由知猜想 成立点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例 3已知数列 满足： ， .（）试求数列 ， ， 的值；（）请猜想 的通项公式 ，并运用数学归纳法证明之.【答案】
6、（） ， ， . （） ，证明见解析.由此猜想 . 下面用数学归纳法证明之： 当 时， ，结论成立； 假设 时，结论成立，即有 ， 则对于 时，当 时，结论成立.综上，可得对 ， 成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证 时成立） ；第二步：归纳递推（即假设 时成立，验证 时成立） ； 3、两个条件缺一不可，在验证 时成立时一定要用到归纳假设 时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致.例 4.【2018 届浙江省温州市高三 9 月一模】已知数列 中， （ ） （1）求证： ；（2）求证： 是等差数列；（3）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证：
7、 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由 可得 是等差数列；（3）由（2）可得 ，从而可得 ，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.（2）由 ，得 ，所以 ，即 ，即 ，所以，数列 是等差数列（3）由（2）知， ， ，因此 ，当 时， ，即 时， ，所以 时， ，显然 ，只需证明 ， 即可当 时， 例 5.已知函数 2ln,10bfxaxf（1）若函数 f在 1处切线斜率为 ， 21 1nnaf，已知 14a，求证： 2na（2）在（1）的条件下，求证： 12125naa【答案】见解析下面用数学归纳法证
8、明： 2na当 1n时， 4成立假设 kN成立，则 1k时121kka2ka45n时，不等式成立,2nNa（2） 1121nna由（1）可知 2na 12na11nnnn21122nnnnaaa121nn 1 2552nna例 6 【浙江省绍兴市 2018 届 5 月调测】已知数列 中 .（1）证明： ；（2）设数列 的前 项和为 ，证明： 【答案】 （1）见解析；（2）见解析详解：（1）数学归纳法：当 时， ， ，显然有 .假设当 ，结论成立，即 ，那么 ， ，即 ，综上所述 成立. （2）由（1）知： ， ，即 ， ；点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条
9、件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点例 7 【福建省南平市 2018 届 5 月检查】己知函数 .（）求函数 的单调区间；（）若函数 的最小值为-1， ，数列 满足 ，记 ， 表示不超过 的最大整数证明： 【答案】 （）见解析; （）见解析.详解：（）函数 的定义域为 .1、当 时， ，即 在 上为增函数；2、当 时，令 得 ，即 在 上为增函数；同理可得 在 上为减函数.（） 有最小值为-1， 由（）知函数 的最小值点为 ，即 ，则 ，令 ，当 时， ，故 在 上是减函数所以当 时 ， .（未证明，直接得出不扣分）则 .由 得 ，从而 . ， .猜想当 时， .下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当 时，猜想正确.2、假设 时，猜想正确.即 时， .当 时，有 ，
