1、- 1 -求数列通项公式的方法和技巧一、已知数列是等差（比）数列,用公式法求通项 （基本量法）（1）.等差数列 通项公式： （ d为公差） ；na1()na（2）.等比数列 通项公式： （ q为公比）例 1、 为等差数列 的前项和，且 记 ，其中 表示不超过的最大整数，nSna17=28.aS， =lgnbax如 0.9=lg1，（）求 ； （）求数列 的前 1 000项和10b， ， nb例 2、已知首项都是 1的两个数列 an， bn(bn0， nN *)满足 anbn1 an1 bn2 bn1 bn0.(1)令 cn ，求数列 cn的通项公式； (2)若 bn3 n-1，求数列 an的前
2、 n项和 Sn.anbn变式练习1、设 是数列 的前 n项和，且 ， ，则 nSa1a11nnSn2、等差数列 an的前 n项和为 Sn.已知 a110， a2为整数，且 Sn S4.(1)求 an的通项公式； (2)设 bn ，求数列 bn的前 n项和 Tn.1anan 13、 已知等差数列 an的公差为 2，前 n项和为 Sn，且 S1， S2， S4成等比数列(1)求数列 an的通项公式； (2)令 bn(1) n-1 ，求数列 bn的前 n项和 Tn.4nanan 1- 2 -4、设数列 an满足 a10 且 .1nna(1)求 an的通项公式； 二、已知数列的前 n项和 Sn或 Sn
3、与 an的关系求通项公式 (公式法 )说明：已知 的前 n项和 与 的关系，则先求 ，再由 求 或 与其它项的asn112nnasna关系，进而转化为等差（比）数列求通项 ，并验算此时的 在 时是否成立。若成立，则通项公式a是 ，若不成立，则 要用分段函数来表示。nn例 1、已知数列 na的前 项和12nnSa（ *N） ，则数列 na的通项公式na_ 例 2、 为数列 的前 n项和.已知 0， = .nSana2na43nS（）求 的通项公式： （）设 ,求数列 的前 n项和n 1nbb变式练习1.an的前 n项和为 Sn an ，则数列 an的通项公式是 an=_.23 132、已知数列
4、的前 n项和 ，其中 0（I）证明 n是等比数列，并求其通项公式；3、已知数列 的前 项和为 ， =1， ， ，其中 为常数.anS1an1nnaS- 3 -()证明： ；2na三、累乘法 形如 an1 anf(n)，求 an 例 1、 【2017 浙江省温州市高三月考试题】在数列 an中， a11， an an1 (n2)，则数列 an的通项n 1n公式是_. 例 2、已知数列 an满足 a1=1且 （ n2） ，求 an。12()na练习1、已知 ， ，求 。1a1nnan四、累加法 形如 an1 an f(n)，求 an 例 1、 【2017 河北省定州中学高三月考】在数列 an中， a
5、12， an1 an ，则数列 an的通项1n n 1公式是_. 例 2、 【2017 河南郑州一中高三月考】若数列 an满足： a11， an1 an2 n，则数列 an的通项公式是_. 练习1、已知数列 na满足 113,2,na则 的最小值为_.na- 4 -2、已知二次函数 f(x) ax2 bx的图像过点(4 n，0)，且 f(0)2 n， nN *，数列 an满足 f 1an 1 ，且 a14. (1)求数列 an的通项公式；(1an)3、设数列 满足na21112,3nnaA（1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列的前 n项和nbanS五、构造法 形如 an1 Aan B(
6、A0 且 A1)，求 an 例 1、数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式 =_ +1=3+1 1=1 例 2、 已知数列 满足 且 ，,则该数列的通项 an=_.na123na1变式练习1、 已知数列 an满足 a11， an1 3 an1.(1)证明 是等比数列，并求 an的通项公式；an122、设 AnBnCn的三边长分别为 an,bn,cn， AnBnCn的面积为 Sn， n=1,2,3,，若b1 c1， b1 c12 a1， an1 an， bn1 ， cn1 ，则( )cn an2 bn an2A、 Sn为递减数列 B、 Sn为递增数列C、 S2n1 为递增数列， S2n为递减数列
7、 D、 S2n1 为递减数列， S2n为递增数列- 5 -六、取倒数法 形如 an1 (A， B， C为常数)AanBan C例 1、已知数列 an中， a11， an1 ，则数列 an的通项公式是_.2anan 2例 2、数列 na的前 项和为 nS，若 1a， 13naS，则数列 na的通项公式n_练习：1、若数列 的前 项和为 ，且 ，则 的通项公式是 _ 32=1 =2. 已知数列 an满足 a11， an1 (nN *)若 bn1 ( n ) ， b1 ，且数列 bn是递anan 2 (1an 1)增数列，则实数 的取值范围为( )A 2 B 3 C 2 D 33.已知数列 an满足
8、 a1 ， an1 ， nN *.35 3an2an 1(1)求证：数列 为等比数列1an 1(2)是否存在互不相等的正整数 m， s， t，使 m， s， t成等差数列，且 am1， as1， at1 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 m， s， t；如果不存在，请说明理由- 6 -7、两边同除数法 形如 （ 且 ）1()nnapf0p1例 1、已知 ， ，求 。12a142n变式练习1、数列 an满足 a1=1且 an=2an1 （n2） ，求 an。13n2、已知 ，求 的通项公式。1,2,2时 3、设数列a n的前 n项和 。,321,41nnS（）求首项 a1与通项 an；8、取对数法形如 (p、 r为常数， )的数列，可两边取对数法求 。1rnna0,npra na思路：对递推式两边取对数得 ，令 ，.1logllogmnmplognmb例 1、若 中， ，则 = 。n2*113,naNn变式练习1、已知函数 f(x)=x2+bx为偶函数，数列 an满足 an+1=2f(an1)+1，且 a1=5，又设 bn=log2(an1)。（1）求数列 bn的通项公式； （2）设 cn=nbn，求数列 cn的前 n项和 Sn
