1、浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法摘要：针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一，在借鉴前人研究成果的基础上，提出求概率密度的四步教学法。概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支，无论是综合类大学还是高职、高专院校，都将它作为一门必修课。在大学概率论与数理统计中，随机变量函数是一个重点也是一个难点，尤其是连续性随机变量函数的概率密度，教材中只是一般给出两种方法：一种是先求其分布函数，然后对分布函数求导，来得概率密度函数；二是教材中的定理 11关键字： 随机变量函数 概率密度 一、 定义 1：如果存在一个函数 ，使得随机变量 满足 则称随机gx,XYgX变量 是随机
2、变量 的函数，那么随机变量 的概率密度函数称为随机变量函数的概YX率密度函数。二、 （经典公式法）定理 1：设随机变量 具有概率密度 ，又X,XfxR设 出处可导且恒有 则 是一个连续性ygx 0()gxx或 Yg随机变量，其概率密度函数（1.1）11,0,XYfyyf 其 他该定理中给出的求解方法要求函数 必须是一对一的单射。然而，在我gx们实际教学中，学生经常会遇到这样的问题：设随机变量 的概率密度函数为X求随机变量函数 的概率密度函数。显然在这情况下，使用定()Xfx21YX理 1 的求法是不满足其使用条件的。定理 2 23设连续型随机变量 的概率密度函数,()0fxabp其 他为区间
3、上连续的函数，若每一个 对应唯一 的表达式记为yg, yx且均连续可导，对应的定义域123(),()()()nhyhy，记作： 则随机变量函数 的概率密度函数为,II， YgX1(),1,23()0nXii iiYfhyyInfy， 其 他该方法基于熟悉的公式法，拓宽了求解连续性随机变量函数的概率密度的方法，弥补了定理 1，中的缺陷，解除了初学者使用时的困惑。针对三本院校学生基础知识薄弱，我们在教学中在严格遵守教学规律的同时，坚持以用为本，淡化概念定理的推到证明。从而融合定理 1、定理 2 的思想方法归纳总结出以下结论三、求概率密度函数的四步法：（1）反解 得ygx， , , ,1()h1ab
4、2()xhy12ab(),nnxhyab（2）使用数轴以 ， 为端点将 分割成互不重合ii3n i3的子区间12,mabab （3）确定每个区间 上的 并求出该区间上概率密度函j ()ihy1,2jn数 1(),3jnYjXiiiffhyj（4）确定概率密度函数1122(),(),0YYfyabf其 他四、举例例 1 设 ，求 的概率密度,480Xxf:其 他 28YX解：（1）由 反解得 ，2Y8X当 时，04x816y（2）分割区间16（3）该区间上 ，18()=82Yyfy（4）概率密度函数,1630Yfy其 他例 2设随机变量 的概率密度函数为 X2,01()xp其 他求 的概率密度函
5、数。213Y解：（1）由 得 ， ，2yx1()3hy14=09I， 2()-3hy2=09I， ,y（2）利用分割区间01949（3）当 时 ,y 112()()()(YXXfyfhyfhy整理得 ，12()3Yf 0,9当 时， = 4,9y21()()YXfyfhy1+3（4） 12()(),0914(),0,XXYfhyfyyfy 其 他整理得21,09314(),0Yyfy其 他例 3、设连续性随机变量 的概率密度函数为 ，分布函数为 ，求随XfxFx机变量 的概率密度=Y解：（1）反解 ， ， ； ，yx1()hy02()-hy0（2）分割区间0（1） 当 时，0y 112()()
6、()YXXfyfhyfhyf（2） 概率密度函数为 ,0()0,Yfy其 他五、小结：本文在熟悉教材基本公式的情况下，将连续性随机变量函数的概率密度求法做了推广和总结，通过融合两个定理的核心思想，提出求解概率密度的四步教学法。在基本理论的前提下采用数形结合借助图形直观形象的特点给出具体操作步骤。对于数学基础薄弱抽象思维匮乏的学生极大地降低了学习这部分知识的难度。同时，该方法也适合于将该门课作为基础理论课，以用为目的的院校。参考文献：1 吴赣昌. 概率论与数理统计（经管类 .简明版） M.第四版. 北京：中国人民大学出版社,2011 年2 程开敏.连续性随机变量函数 J.高等数学研究,2017 年 7 月3 顾玉娣.求连续性随机变量函数的概率密度J.上海师范大学学报，2002 年 6 月4叶林.概率密度函数的引入J.内蒙古教育学院学报，1998 年12 月
