1、1浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特 ，特别注意 a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函)0,(2 acbaxy是 常 数 ，数。 叫做二次函数的一般式。)0,(2 cbaxy是 常 数 ，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法- 五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 与坐标轴的交点：cbxay2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出
2、这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例 1】 、已知函数 y=x2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据
3、第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时， y=0； y0知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点（1）一般 一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）两根 当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 有实02cbxa根 和 存在时，根据二次三项式的分解因式 ，二次函数1x )(212 xc可转化为两根式 。如果没有交点，则不能这样表示。cbay2 )(21xaya 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点 顶点式： 当题目中告诉我们抛物线的顶点)0,()(2akhaxy是 常 数 ，时，我们最好设顶点式，这样最简洁。2【例
4、 1】 、抛物线 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，且过（-1，16） ，求抛物线的解析式。cbaxy2【例 2】 、如图，抛物线 与 x 轴的一个交点 A 在点（-2 ，0）和（-1，0）之间（包括这两点） ，cbaxy2顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （或或=）（2）a 的取值范围是 【例 3】 、下列二次函数中，图象以直线 x = 2 为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )A y = (x 2)2 + 1 B y = (x + 2)2 + 1 C y = (x 2)2 3 D y = (x + 2)2 3知识点三、二次函数
5、的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时，abx2。abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若在21xab221x此范围内，则当 x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内的增ab2abcy4最 值 21减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 时， ，当 时，2xcbxay2最 大 1x；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ，当cbxa12最 小 1 cbay2最 大时， 。2x2最 小【例 1】 、已知二次函数的图像（0x3）如图所示,关于该函数在所给自
6、变量取值范围内,下列说法正确的是( )A有最小值 0，有最大值 3 B有最小值1,有最大值 0C有最小值1,有最大值 3 D有最小值1,无最大值【例 2】 、某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 l80 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍) （1）设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w
7、与 x 的函数关系式；OO-1OxOy132 33（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A y = x2 B y = x C y = x D y = 34 1x【例 6】 、若二次函数 2()1m当 l 时， 随 的增大而减小，则 m的取值范围是（ ） A =l B l C l D ml知识点五、二次函数图象的平移 对于
8、抛物线 y=ax2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式 ，再遵循左加右减，上加下减的的原则2yaxhk化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。 沿 轴平移：向上（下）平移 （m0）个单位， 变成cbxay2y cbxay2（或 ）mxcbxa2 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式：向左（右）平移 （m0）个单位， 变成cbay2 cbxay2（或 ）xx)()( cxbxay)()(2【例 1】 、将抛物线 2y向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是( )A ()x
9、B x C 2()yx D 2yx【例 2】 、将抛物线 y=x22x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_.【例 3】 、抛物线 y可以由抛物线 2平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位5C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位知识点六、抛物线 中， a、b、c 的作用xay2（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.a2xy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，
10、故：b cbxay2 abx2时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，0y0abby0对称轴在 轴右侧.口诀-左同，右异 （a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧）（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxy2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcba2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0cy0y以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .yab【例 1】 、如图为抛物线 2yaxbc的图像， A、 B、 C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1，则下列关
11、系中正确的是( ) Aab=1 Bab=1 Cb0 Bb0 Cc0 Dabc0【例 3】 、如图所示的二次函数 2yxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） 24c；（2） c1；（3）2 a b0；（4） a+b+c0。你认为其中错误的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D1 个【例 4】 、如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为 1,2，下列结论：ac0；a+b=0；4acb 2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例 5】 、如图，是二次函数 yax 2bxc（a0）的图象的一部分，给出
12、下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax 2+bx+c=0 的两根分别为-3 和 1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）xy-1 1O16【例 6】 、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的 对称 轴，则下列关系正确的是（ ）A m n， k h B m n ， k h C m n， k h D m n， k h知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）1、两点间距离公式：如图：点 A 坐标为（x 1，y 1） ，点 B 坐标为（x 2，y 2） ，则 AB 间的距离，即线段 AB的长度为 （这实际上是根据勾
13、股定理得出来的）2121yx2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中， A、 两点的坐标分别为1()Axy，2B， 中点 P的坐标为 ()pxy，由 12ppxx，得 12px，同理 12py，所以 AB的中点坐标为 12)y，3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b1，y=k 2x+b2，那么 k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的 k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的 k 值。4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b1，y=k 2x+b2，那么 k1k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的 k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的 k 值。 （对于这一条，只要能灵活运
14、用就行，不需要理解）以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”【例 1】 、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标1xp2x112yy2
15、PA P BO7ADCE BOADCE BO ADCE BO【例 2】 、如图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）设点 M（3，m） ，求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的
16、最大值【例 3】 、如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右边） ，与 y 轴交于 C，连接4231xyBC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过 P 作x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q。（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N。试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由。（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，
17、若存在，请直接写出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由。8练 习1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m2、已知函数 ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，235xy则 k 的值为（ ）A0 B1 C2 D33. 二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 在
18、同一坐标系中的大2yaxbcayxybxc致图象是（ ）.4. 如图，已知二次函数 的图象经过点（1，0） ， （1，2） ，当 随 的增大而增大时， 的取cbxy2 yxx值范围是 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着它与 y 轴的交点旋转 180，所得抛物线的解析式是（ 23yx） A B 2(1)yx2(1)4C D yx6. 已知二次函数 的图像如图，其对称轴 ，给出下列结果 cbxay2 acb420b ，则正确的结论是（ ）02ba0c0xyO1（ 1,-2） cb2-1 9A B C D 7抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：2yaxbcxyx 2 1 0 1
19、 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与 轴的一个交点为（ 3,0） ； 函数 的最大值为 6；x 2yaxbc抛物线的对称轴是 ； 在对称轴左侧， 随 增大而增大128. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（2，4） ，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，连结 OA(1)求OAB 的面积；(2)若抛物线 经过点 A2yxc求 c 的值；将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括OAB 的边界） ，求 m 的取值范围（直接写出答案即可） 9、 “已知函数 的图象经过点 A（c，2） ， ，
20、这个二次函数图象的对称轴是cbxy21x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。1010、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD， BAD= 90，BC 与 y 轴相交于点M，且 M 是 BC 的中点，A 、 B、D 三点的坐标分别是 A（-1，0） ，B( -1，2)，D ( 3，0)，连接 DM，并把线段DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点 P使得 PA= PC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点，当点 Q 在什么位置时有最大？并求出最大值。QEC11、如图，抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（一 1，0）1求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判断ABC 的形状，证明你的结论；点 M(m，0)是 x 轴上的一个动点，当 CM+DM 的值最小时，求 m 的值AB CDOEN Mxy图
