1、特征方程求递推数列通项公式一、一阶线性递推数列通项公式的研究与探索若数列 满足 求数列 的通项na),1(,11cdabnnan它的通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设 ，ttct nnn )(),(11 则令 ，即 ，当 时可得d)(c，)1(1acann知数列 是以 为公比的等比数列，nc11)(nndac将 代入并整理，得 .b1 1cdbnn观察可发现 即为方程 的根cddx我们称方程 为递推公式 的特征方程， 为特征方程的根。x)1(1can cd1将上述参数法类比到二阶线性递推数列 能得到什么结论？,11nnqp二、二阶线性递推数列通项公式的研究与探索若
2、数列 满足 设 ，na,11nnqap)(1nntast则 , 令 11)(nnstt qtp（1） 若方程组有两组不同的实数解 ,)(,21s则 ,)(11nnatsat,22即 、 分别是公比为 、 的等比数列，nat1nat211s2由等比数列性质可得 ,2)(nat,12211nnst 由上两式消去 可得,21ta.nnn ststsa212121.（2） 若方程组有两组相等的解 ，易证此时 ，则21t1st ，)(111 nnn asatsat )(121atn,即 是等差数列，211snn1由等差数列性质可知 ，211.sasan所以 nnsa2121.这样，我们通过参数方法，将递
3、推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组消去 即得 ，显然 、 就是方程 的两t02qps1s2qpx2根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列 的特征方程，1nnaa结论：设递推公式为 其特征方程为 ，,1nna 022xqpx即1、 若方程有两相异根 、 ，则 ；s2nnsc212、 若方程有两等根 ，则 .1 )(其中 、 可由初始条件确定。1c2例 1.（1）已知数列 满足 ，求数列 的通项na *1221,3,()nnaaNnana（2）已知数列 满足 ，求数列 的通项na *1221,4()nnaaNnan三、分式线性递推数列 通项公式的研究与探索dcb
4、nn1仿照前面方法，等式两边同加参数 ，t则 dactttdacbt nnn )(1令 ，即 tbt 02btt记此方程的两根为 ，21,（1） 若 ，将 分别代入式可得21ttdactttann111)(tttnn2221)(以上两式相除得 ，212121tacttann于是得到 为等比数列，其公比为 ，2tn 21ct数列 的通项 可由 求得；a 12212)(nntatta（2）若 ，将 代入式可得 ,21t1t dctttnn111)(考虑到上式结构特点，两边取倒数得111)(tacdctatnn 由于 时方程的两根满足 ，21tcdat1211ctdt于是式可变形为 111tctat
5、nn 为等差数列，其公差为 ，1tan 1t数列 的通项 可由 求得n 111)(ctantat 这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列 （ ）的特征dcbnn1 0,cR方程为 ，即 ，此特征方程的两根恰好是方程两根的相反dcxba0)(2bxad数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列 （ ） ，其特征方程为 ，cnn1 0,cRddcxba即 ，0)(2bxadcx1、若方程有两相异根 、 ，则 成等比数列，其公比为 ；1s221san 21csa2、若方程有两等根 ，则 成等差数列，其公差为 .211n 1例 2. （1）已知数列 满足 ,求通项 .na*11,2,naNna（2）已知数列 满足 ，求数列 的通项n11,()nnn（3）设数列 满足 .nannnaa求,7245,11例 3.（09江西理22）各项均为正数的数列 , ,且对满足n12,b的正数 都有 .(1)当 时,mnpq,mnpq(1)(1)pqmnaa1425ab求通项 ;na
