1、特征方程法求解递推关系中的数列通项湖北省竹溪县第一高级中学 徐 鸿考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列 的项满足 其中 求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1 设上述递推关系式的特征方程的根为 ，则当 时， 为常数列，即，其中 是以 为公比的等比数列，即 .证明：因为 由特征方程得 作换元则当 时， ，数列 是以 为公比的等比数列，故当 时， ， 为0数列，故 （证
2、毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1 已知数列 满足： 求解：作方程当 时， 数列 是以 为公比的等比数列.于是例2 已知数列 满足递推关系： 其中 为虚数单位.当 取何值时，数列 是常数数列？解：作方程 则要使 为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3 已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2 如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中 p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，那么，可作特征方程 .（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，若 则若 ，则 其中 特别地，当存在 使时，无穷数列
3、不存在.（2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则 ， 其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则 是特征方程的根，将该式代入式得 将 代入特征方程可整理得 这与已知条件 矛盾.故特征方程的根 于是当 ，即 = 时，由式得 故当 即 时，由、两式可得 此时可对式作如下变化：由 是方程 的两个相同的根可以求得将此式代入式得令 则 故数列 是以 为公差的等差数列.其中当 时，当存在 使 时， 无意义.故此时，无穷数列 是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根 、 ，其中必有一个特征根不等于 ，不妨令 于是可作变换故 ，将 代入再整理得由第（1）部分的证明过程
4、知 不是特征方程的根，故故 所以由式可得：特征方程 有两个相异根 、 方程 有两个相异根 、 ，而方程与方程 又是同解方程.将上两式代入式得当 即 时，数列 是等比数列，公比为 .此时对于 都有当 即 时，上式也成立.由 且 可知所以 (证毕)注：当 时, 会退化为常数;当 时, 可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题 .解：依定理作特征方程 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有即例4 已知数列 满足：对于 都有（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第（1）部分解答.（1） 对于 都有（2）令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在，当 4， 时， .（3） 令 则 对于（4）显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列是存在的，当 时，则有 令 则得且 2.当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便不存在.于是知：当 在集合 或 且 2上取值时，无穷数列 都不存在.2010-12-21 人教网
