1、特征方程法求解递推关系中的数列通项湖北省竹溪县第一高级中学 徐 鸿考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列 的项满足 其中 求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程 称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1 设上述递推关系式的特征方程的根为 ,则当 时, 为常数列,即,其中 是以 为公比的等比数列,即 .证明:因为 由特征方程得 作换元则当 时, ,数列 是以 为公比的等比数列,故当 时, , 为0数列,故 (证
2、毕)下面列举两例,说明定理1的应用.例1 已知数列 满足: 求解:作方程当 时, 数列 是以 为公比的等比数列.于是例2 已知数列 满足递推关系: 其中 为虚数单位.当 取何值时,数列 是常数数列?解:作方程 则要使 为常数,即则必须现在考虑一个分式递推问题(*).例3 已知数列 满足性质:对于 且 求 的通项公式.将这问题一般化,应用特征方程法求解,有下述结果.定理2 如果数列 满足下列条件:已知 的值且对于 ,都有 (其中 p、 q、 r、 h 均为常数,且 ) ,那么,可作特征方程 .(1)当特征方程有两个相同的根 (称作特征根)时,若 则若 ,则 其中 特别地,当存在 使时,无穷数列
3、不存在.(2)当特征方程有两个相异的根 、 (称作特征根)时,则 , 其中证明:先证明定理的第(1)部分.作交换则 是特征方程的根,将该式代入式得 将 代入特征方程可整理得 这与已知条件 矛盾.故特征方程的根 于是当 ,即 = 时,由式得 故当 即 时,由、两式可得 此时可对式作如下变化:由 是方程 的两个相同的根可以求得将此式代入式得令 则 故数列 是以 为公差的等差数列.其中当 时,当存在 使 时, 无意义.故此时,无穷数列 是不存在的.再证明定理的第(2)部分如下:特征方程有两个相异的根 、 ,其中必有一个特征根不等于 ,不妨令 于是可作变换故 ,将 代入再整理得由第(1)部分的证明过程
4、知 不是特征方程的根,故故 所以由式可得:特征方程 有两个相异根 、 方程 有两个相异根 、 ,而方程与方程 又是同解方程.将上两式代入式得当 即 时,数列 是等比数列,公比为 .此时对于 都有当 即 时,上式也成立.由 且 可知所以 (证毕)注:当 时, 会退化为常数;当 时, 可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题 .解:依定理作特征方程 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有即例4 已知数列 满足:对于 都有(1)若 求 (2)若 求 (3)若 求 (4)当 取哪些值时,无穷数列 不存在?解:作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第(1)部分解答.(1) 对于 都有(2)令 ,得 .故数列 从第5项开始都不存在,当 4, 时, .(3) 令 则 对于(4)显然当 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知, 时,数列是存在的,当 时,则有 令 则得且 2.当 (其中 且 N2)时,数列 从第 项开始便不存在.于是知:当 在集合 或 且 2上取值时,无穷数列 都不存在.2010-12-21 人教网