1、1第二十四章圆复习导学案一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二、点与圆的位置关系1、点在圆内 0 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；r2、直线与圆相切 有一个交点；d3、直线与圆相交 0 有两个交点；drd=rr d五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）
2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径（或 AB 经过圆心） （垂直于弦） （平分弦） 弧ABABCDCEDBC弧 （平分弦所对的劣弧） 弧 弧 （平分弦所对的优弧）D中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等，圆周角相等。 此定理也称 1 推 4 定理，即上述五个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 4 个结论，即： ； ；AOB
3、DEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBAB 2C2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等rddCBAOOE DCBAFEDC BAOCBAOD CBAOCB AO2弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或AB90C 是直径90AB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，CO 是直角
4、三角形或AB90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线看到切线，要想到连接圆心和切点得垂直。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB ， 平分 ，
5、POAB，OBPA十一、圆内正多边形的计算(选记)正多边形计算的解题思路： 直 角 三 角 形等 腰 三 角 形正 多 边 形 转 化作 垂 线 段转 化连 接 ODAB可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：OABCRt :1:32ODB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：tOAE:1:2AEO（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .RtB:3B十二扇形、圆柱、圆锥和弓形的相关计算公式CB AOEDCBANM AOPBAODCB AOECBA DOBAO31、扇形：（1）弧长
6、公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 236Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： 2V3、圆锥（1）侧面展开图 =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 213h（3）2=60nRSlr侧4、弓形（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 OAmB 的面积和AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，
7、如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示，圆有关问题辅助线的常见作法半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。S lBAO C1D1DCBAB1RrC BAO4例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确
8、的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB 是_cm.2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图
9、，已知在 中，弦 ，且 ，垂足为 ， 于 ， 于 .OCDABHABOECDF（1）求证：四边形 是正方形.EHF（2）若 ， ，求圆心 到弦 和 的距离.3C94、已知：ABC 内接于O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，ADBC 于 D，求证：AD= BF.21例题 3、度数问题已知：在 中，弦 ， 点到 的距离等于 的一半，求： 的度数和圆的半径.Ocm12ABOABAOB 5例题 4、平行问题在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm
10、，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离.例题 5、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、 D 两点，设大圆和小圆的半径分别为 .求证： .ba, 2baBDA例题 6、利用切线性质计算线段的长度如图，已知：AB 是O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，又 PC=4，O 的半径为 3求：OD 的长例题 7、利用切线性质计算角的度数如图，已知：AB 是O 的直径，CD 切O 于 C，AECD 于 E，BC 的延长线与 AE 的延长线交于 F，且AF=BF求：A 的度数例题 8、利用切线性质证明角相等如图，已知：AB 为O 的直径，过
11、 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N求证：MCN=MDN6例题 9、利用切线性质证线段相等如图，已知：AB 是O 直径，COAB，CD 切O 于 D，AD 交 CO 于 E求证：CD=CE例题 10、利用切线性质证两直线垂直如图，已知：ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于 D，DE 切O 于 D，交 AC 于 E求证：DEAC例题 11、有关阴影部分面积计算如图，线段 AB 与 O 相切于点 C，连结 OA， OB， OB 交 O 于点 D，已知6AB， 3（1）求 O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积COA BD71.下列说法正确的是 （ ）A.
12、 长度相等的弧是等弧； B.两个半圆是等弧； C.半径相等的弧是等弧； D.直径是圆中最长的弦；2.一个点到圆上的最小距离是 4cm，最大距离是 9cm，则圆的半径是（ ）A.2.5cm 或 6.5cm B.2.5cm C.6.5cm D.5cm 或 13cm3.以下说法正确的是：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分这条弦；相等圆心角所对的弧相等。 （ ）A. B. C. D. 4.如图所示，在O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论正确的是（ ）A.ABCD B. C.PO=PD D.AP=BPCDAB5.如图所示，在O 中，弦 AB 的为 8，
13、那么它的弦心距是 ；6.如图所示，一圆形管道破损需更换，现量得管内水面宽为 60cm，水面到管道顶部距离为 10cm，问该准备内径是多少的管道进行更换。例 1：如图，P 是O 外一点， PAB、PCD 分别与O 相交于 A、B、C 、D.(1)PO 平分 BPD；(2) AB=CD；(3)OECD，OF AB；(4) OE=OF.从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明，与同伴交流.A B P O E FC D例 2：如图，AB 是O 的弦， 交 AB 于点 C，过点 B 的直线交 OC 的延长线于点 E，当OAC时，直线 BE 与O 有怎样的位置关系？并证明你的结论BEC例 3：（1）如图，圆心角都是 90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，OA=3 ，OC=1 ，分别连结AC、BC ，则圆中阴影部分的面积为（ ）A B C2 D4 12（2）如图,在 RtABC 中， C=90,AC=1,BC=2以边 BC 所在直线为轴，把 ABC 旋转一周,得到的几何体的侧面积是（ ） A B2 C D2 554CDOBA10cm60cm6O5COBA
