1、1第一讲 数列的极限一、内容提要1.数列极限的定义，有 .Nnaxn ,0lim axn注 1 的双重性.一方面,正数 具有绝对的任意性,这样才能有无限趋近于nx )(an另一方面,正数 又具有相对的固定性,从而使不等式 .还表明数列 无限趋近 axnnx于 的渐近过程的不同程度,进而能估算 趋近于 的近似程度.an注 2 若 存在，则对于每一个正数 ，总存在一正整数 与之对应，但这种 不是nxlimNN唯一的，若 满足定义中的要求，则取 ，作为定义中的新的一个 也必N,2,1N须满足极限定义中的要求，故若存在一个 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的 注 3 的几何意义是：对 的预先给定的任
2、意 邻域 ，在axn)(a),(aU中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入 ),(注 4 ，有 .Nnxn 00,lim 00xn2. 子列的定义在数列 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为 的子列，n nx记为 ，其中 表示 在原数列中的项数， 表示它在子列中的项数kxkknxk注 1 对每一个 ，有 注 2 对任意两个正整数 ，如果 ，则 反之，若 ，则 kh,kkhnkhn注 3 ，有 .Kaxkn ,0lim axk注 4 的任一子列 收敛于 .nknx3.数列有界对数列 ，若 ，使得对 ，有 ，则称数列 为有界数列nx0MNMnnx4.无穷大量对数列 ，如果
3、， ，有 ，则称 为无穷大量，nG, Gxnn2记作 nxlim注 1 只是一个记号，不是确切的数当 为无穷大量时，数列 是发散的，即nxnx不存在nxli注 2 若 ，则 无界，反之不真nlinx注 3 设 与 为同号无穷大量，则 为无穷大量xynyx注 4 设 为无穷大量， 有界，则 为无穷大量nn注 5 设 为无穷大量，对数列 ，若 ， 使得对 ，有xny0,NNn，则 为无穷大量特别的，若 ，则 为无穷大量nyny anyx5.无穷小量若 ，则称 为无穷小量0limnxnx注 1 若 ， 有界，则 y0limnyx注 2 若 ，则 ；若 ，且 使得对 ，nxli1linlin,NNn，
4、则 0nxn1lim6.收敛数列的性质（1）若 收敛，则 必有界，反之不真nnx（2）若 收敛，则极限必唯一x（3）若 ， ，且 ，则 ，使得当 时，anlimbynliaNNn有 nyx注 这条性质称为“保号性” ，在理论分析论证中应用极普遍（4）若 ， ，且 ，使得当 时，有 ，anlibynlinnyx则 ba注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性” （5）若数列 、 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列 ，nxy nyx3， ， （ ）也收敛，且有nyxnxy0limn，nyxlinxlinylim，n（ ） nyxlimnli0liny7. 迫敛性（夹逼定理）若 ，使得
5、当 时，有 ，且 ，NNnnzxnlimaznli则 axnlim8. 单调有界定理单调递增有上界数列 必收敛，单调递减有下界数列 必收敛nxnx9. Cauchy 收敛准则数列 收敛的充要条件是： ，有 nx NmN,0 mnx注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此在论证极限问题时不需要事先知道极限值10.Bolzano Weierstrass 定理有界数列必有收敛子列11. 71824.1limenn12.几个重要不等式(1) ,22ab.sinx. six(2) 算术几何调和平均不等式：对 记,21Rn(算术平均值),1 )
6、(21nii anaM(几何平均值),)(121ninniG(调和平均值).1121 ninii aaaH有均值不等式: 等号当且仅当 时成立.),( )(iiiMGn214（3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)对 由二项展开式,0x231)()2(1 ,!n nnxx(,)（）CauchySchwarz 不等式 : ( ),有kba,n,2121nkba21nknk1k（） ，N)l(13. O. Stolz 公式二、典型例题1用“ ”“ ”证明数列的极限 （必须掌握）G例 用定义证明下列各式：（） ；1635lim2nn（）设 ， ，则 ；（97，北大，10
7、分）0xaxli axnlim（） lin)(证明：（） ，欲使不等式nnn6363561352222成立，只须 ，于是， ，取 ，当 时，有6n01NNn61352即 6lim2n（）由 ， ，知 ，有 ，则axnli0n Nn, axnaxnn xn5于是， ，有 ，Nn,0 axnxn即 nlim（）已知 ，因为nl，n1l2ll02 n12n224n所以， ，欲使不等式 成立，只须 0ll24n于是， ，取 ，当 时，有0N142N，lnl2n即 0limn评注 本例中，我们均将 做了适当的变形，使得 ，从而从解axn)(ngaxn不等式 中求出定义中的 将 放大时要注意两点： 应满足
8、当)(ngNxn时， 这是因为要使 ， 必须能够任意小；不等式0)(g)(容易求解)(评注 用定义证明 ，对 ，只要找到一个自然数 ，使得当axn)(0)(N时，有 即可关键证明 的存在性)(Nn)(N评注 在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（） ，有 （ 为任一正常数）.n,0Maxn（） ，有 . k)(例 用定义证明下列各式：6（） ；（92，南开，10 分）1limn（） 0linka),(Nk证明：（） （方法一）由于 （ ） ，可令 （ ） ，则1n1n0（ ）nn 2)()1( 2)(n当 时， ，有22n)(222)1(4n即 nn10，欲使不等式 成立，只须 n
9、2124n于是， ，取 ，当 时，有0,4max2NN，1n即 lin（方法二）因为，nnnnn 2121)1(12 个所以 ，n，欲使不等式 成立，只须 01n nn224n于是， ，取 ，当 时，有42NN，1n7即 1limn（）当 时，由于 ，可记 （ ） ，则1ka0（ ）nnna2)()( 2)1(n当 时， ，于是有22na024)1(n，欲使不等式 成立，只须 0nna2 24n对 ，取 ，当 时，有0,14mx2NNnan2当 时， （ ） ，而 1k1knkaknk)(1则由以上证明知 ，有 ，即N,0 nka)(01，kna故 0limnk评注 在本例中， ，要从不等式
10、中解得 非常困难根据 的特征，0axNnx利用二项式定理展开较容易要注意，在这两个小题中，一个 是变量，一个 是定值评注 从第一小题的方法二可看出算术几何平均不等式的妙处评注 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法例 用定义证明： （ ） （山东大学）0!limna证明：当 时，结论显然成立10当 时，欲使 成立，anaan !12! 8只须 于是 ，取 ，当 时，有n!1a0N1!aNnn!即 0!liman例 设 ，用“ ”语言，证明： 1N 0)1(lin证明：当 时，结论恒成立0当 时， ，欲使1)(0)1( nn 1)(n只须 于是 ，取 ，当 时，有n1N1N0)(n1即 )(lim
11、n2.迫敛性（夹逼定理）项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理n， ， 有界，但不能说明 有极限使用夹逼定理时，nzxybycznnxnx要求 趋于同一个数,例 求证： （ 为常数） 0!limna分析： ，因 为固定常数，必存在正整数 ，使na 1321! m，因此，自 开始， ， ， ，且am12ma1,na时， n09证明：对于固定的 ，必存在正整数 ，使 ，当 时，有am1a1mn，n321!0 a!由于 ，由夹逼定理得 ，nlim!a0!lina即 !limn评注 当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易
12、于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果例 若 是正数数列，且 ，则na 02li1naannlim1n证明：由 ，知naa21 nan2nn21! n21即 nna21 na!121于是， ，而由已知nna210 n!21及0lim21ann nlim0!1故 nli !21na由夹逼定理得 0li1nna评注 1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为 0评注 2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用例如：（1） （ ） （2） （ ）0limnq11liman010（3） （ ） （4）1limna01limn（5） （ ） （6）!lin nli0!例 证明：若 （ 有限或 ） ，则axnli（ 有限或 ） anxn21lim证明：（）设 为有限，因为 ，则 ，有ali 11,0Nn.2xn于是 axn1naxaxn21nxN121 nN11An其中 为非负数axaxAN121因为 ，故对上述的 ，有 0limn 22,0Nn A取 当 时，有,ax21Nn221axxn即 nn21lim（）设 ，因为 ，则 ，有 ，anxli 11,0NGGxn2且 于是0121Nxxn nxxN121 nx1
