1、第 1 页 共 15 页概率与统计题型总结(文科) 一:随机抽样（系统抽样、简单随机抽样、分层抽样）【例 1】在 个有机会中奖的号码（编号为 ）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定1009后两位数为 00 的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 （ ）A简单随机抽样 B系统抽样 C 分层抽样 D以上均不对【例 2】某校共有学生 名，各年级男、女生人数如表已知在全校学生中随机抽取 名，抽到二年级女20 1生的概率是 现用分层抽样的方法在全校抽取 名学生，则应0.1964在三年级抽取的学生人数为（ ）A B C D248162【例 3】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得
2、数据画了样本的频率分布直方图（如10下图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 人中再用分层抽样方法抽出 人作进一010步调查，则在 （元）月收入段应抽出 25,3人.【例 4】用简单随机抽样从 100 名学生（男生 25 人）中抽选 20 人进行评教，某男生被抽到的概率是( )A B C D1025120151【例 5】为了解 1200 名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 30 的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔 为( )kA40 B30 C20 D12【例 6】某单位有职工 160 人，其中业务员有 104 人，管理人员 32 人，后勤服务人员 2
3、4 人，现用分层抽样法从中抽取一容量为 20 的样本，则抽取管理人员( )A3 人 B4 人 C7 人 D12 人真题：【2014广东卷 6】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 11 和图 12 所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图 11 图 12A200，20 B100，20 C200，10 D100，10一年级 二年级 三年级女生 37xy男生 0z第 2 页 共 15 页【2014湖南卷】对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样
4、本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1， p2， p3，则( )Ap 1p 2p 3 Bp 2p 3p 1 Cp 1p 3p 2 Dp 1p 2p 3【2014 天津高考理第 9 题】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生.二：概率基本性质及古典概型题型一：古典概型古典概型的定义：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性.【例 7】若
5、某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 【例 8】袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（A） （B） （C） （D）15253545【例 9】现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 为公比的等 比 数 列 ， 若 从 这 10 个 数 中 随 机 抽 取 一 个3数 ， 则 它 小 于 8 的概率是_【例 10】从 中任取 个不同的数,则取出的 个数之差的绝对值为 的概率是_ 1,23422【例 11】从三男三女 6 名学生中任选
6、2 名(每名同学被选中的机会相等),则 2 名都是女同学的概率等于_【例 12】现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.试求:(I)所取的 2 道题都是甲 类题的概率; (II)所取的 2 道题不是同一类题的概率.【例 13】有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率_【例 14】某小组共有 ABCDE、 、 、 、 五位同学,他们的身高 (单位:米)以及体重指标(单位:千克/米 2)如下表所示:A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79
7、1.82体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9()从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到 的 2 人身高都在 1.78 以下的概率()从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率第 3 页 共 15 页真题：【2014广东卷】从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为_【2014江苏卷】从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_题型三：互斥事件与对立事件的区别：互斥事件(不可能同
8、时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B)对立事件(A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一发生):【例 21】有 A、B 两个口袋，A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球，B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球，从 A、B 袋中各取两个球交换后，求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率【例 22】从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋里任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个白球和都是白球B.至少有一个白球和至少有一个红球C.恰有一个白球和恰有两个白球D.至少有一个白球和都是红球【例 23】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出 个球，摸出红球的概率是 ，
9、摸出白10.42球的概率是 ，那么摸出黒球的概率是0.28A B C D .4.0.30.7【例 24】设 为两个事件，且 ，则当（ ）时一定有,AP7.BPA 与 互斥 B 与 对立 不包含BA题型四：相互独立事件相互独立事件(事件 A、B 的发生互不影响):P(AB)P(A)P(B)【例 25】如图，用 A,B,C,D 表示四类不同的元件连接成系统 M.当元件 A,B 至少有一个正常工作且元件 C,D 至少有一个正常工作时，系统 M 正常工作.已知元件 A,B,C,D 正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统 M 正常工作的概率.【例 26】一个电路如图所示，
10、 A、 B、 C、 D、 E、 F 为 6 个开关，其闭合的概率都是 ，且是相互独立的，则灯12亮的概率是( )CDBAM第 4 页 共 15 页A. B. C. D.164 5564 18 116【例 27】设两个独立事件 A 和 B 同时不发生的概率为 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相9同,则事件 A 发生的概率 P(A)是_【例 28】国庆节假期，甲去北京旅游的概率是 ，乙、丙去北京旅游的概率分别是 ，三人之间的行动3151,4相互没有影响，则这段时间内至少有一人去北京旅游的概率是（ ）A. B. C. D. 605953260【例 29】在一次反恐演习中，三
11、架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚 导弹命中目标的概率分别是 0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹击中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率是( )A0.998 B0.046 C0.936 D0.954三：几何概型题型一：一维问题【例 36】在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC,CB 的长，则该矩形面积大于 20cm2的概率为（ ）A. B. C. D.16132345【例 37】取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是（ ）A. B. C.
12、 D.不确定21141【例 38】已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）A. B. C. D.1098题型二：面积比值问题【例 39】如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. . C. D. 12122【例 40】在 1 万 km2的海域中有 40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是( )A. B. C. D.2549501251第 5 页 共 15 页【例 41】在等腰 RtABC 中，在斜边 A
13、B 上任取一点 M，则 AM 的长小于 AC 的长的概率为_【例 42】已知四边形 ABCD 为菱形，且 AB=2， ，向菱形内部随机投掷一枚豆子，则豆子的落点离60A各顶点的距离都大于 1 的概率为_真题：【2014福建卷 14】如图 14，在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_【2014辽宁卷】正方形的四个顶点 A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分别在抛物线 yx 2和 yx 2上，如图 13 所示若将个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是_【2014陕西卷】从正方形四个顶点及其中心这 5 个
14、点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.15 25 35 45题型三：线性规划及二维概率型【例 43】设不等式组 ，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离20,yx大于 2 的概率是（ ）（A） 4 （B） （C） 6 （D） 4【例 44】已 知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ,则.21=_D【例45】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P（m，n）落在圆 内的162yx概率是_【例 46】在区间 上随机地取一个数 x,
15、若 x 满足 的概率为 ,则 _ 2,4|m56【例 47】设关于 x 的一元二次方程 02ba（1）若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率. （2）若 a 是从区间 任取的一个数，b 是从区间 任取的一个数，求上述方程有实根的概率3,02,第 6 页 共 15 页【例 48】不等式组 （其中 ）表示的平面区域记为 ， ， 的042ayxRaDyxP) ,(yxz最大值和最小值分别为 、 ，已知 Mm4求 和 的值； 在 中随机取一点 ，求 的概率aD) ,(yxP2Mz真题：【2014湖北卷 7】由不等式组 确定的
16、平面区域记为 1，不等式组 确定的平面区02xy 21yx域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为( )A. B. C. D.18 14 34 78题型四：约会问题【例 49】甲乙二人相约定 7：00-8：00 在预定地点会面，先到的人要等候另一人 20 分钟后，方可离开，求甲乙二人能会面的概率，假定他们在 7：00-8：00 内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.【例 50】小明订了一份报纸,送报人可能在早上 6:307:30 之间把报纸送到小明家, 小明离开家去工作的时间在早上 7:008:00 之间，则小明在离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概率是多少？ 【例 5
17、1】甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.四：频率直方图【例 52】经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品.以 X(单位:t100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.()将 T 表示为 X 的函数; ()根据直方图估计利润 T 不少于 57000
18、 元的概率.第 7 页 共 15 页/频 率 组 距0.152301345需 求 量 /xt【例 53】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如下：（）估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率；（）这两种品牌产品中， ，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【例 54】对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间20,25)上的为一等品, 在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品, 在区间10,15)和
19、30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为( )A0.09 B0.20 C0.25 D0.45【例 55】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组下图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为( )第 8 页 共 15 页A. 6 B. 8 C. 12 D. 18真题： 【2014江
20、苏卷】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图 12 所示，则在抽测的 60 株树木中，有_株树木的底部周长小于 100 cm.【2014 高考辽宁理第 18 题】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率；第 9 页 共 15 页（2）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个
21、的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 及方差()EX.来()D五：线性回归方程【例 56】四名同学根据各自的样本数据研究变量 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分xy别得到以下四个结论: y 与 x 负相关且 ; y 与 x 负相关且 ; 2.3476.yx3.4765.8x y 与 x 正相关且 ; y 与 x 正相关且 .5892y其中一定不正确的结论的序号是( )A. B. C. D. 【例 57】已知 与 之间的几组数据如下表:xy假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 .若某同学根据上表中前两组数据 和 求得的axby)0,1(2,直线方程为 ,则以下结论正确的是( )axbyA
22、. B. C. D., ab, , ab,【例 58】设 ， ， ， 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 是由这些样本点通过最1()xy2(,) (,)nxy l小二乘法得到的线性回归直线，以下结论中正确的是（ ）（A）x 和 y 相关系数为直线 l 的斜率（B）x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间（C）当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同（D）直线 过点l(,)x【例 59】从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 个家庭的月收入 (单位:千元)与月储蓄 (单位:千元)的iixiy数据资料,算得 , , , .108ix102iy1084ixy1027i()
23、求家庭的月储蓄 对月收入 的线性回归方程 ;()判断变量 与 之间是正相关还是负相关;bxaxy()若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程 中, , ,其中 , 为样本平均值,线性回归方程也可ybxa12niixyaybxy1 2 3 4 5 60 2 1 3 3 4第 10 页 共 15 页写为 .ybxa【例 60】下列命题中,其中假命题是( )A对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说， k 越小， “X 与 Y 有关系”可信程度越大B用相关指数 R2来刻画回归的效果时，R 2的值越大，说明模型拟合的效果越好C两个随机变量相关性越强，则
24、相关系数的绝对值越接近 1D 一定在回归直线方程上yx,【例 61】给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）A在线性回归模型中，相关指数 R2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是 80%B在独立性检验时，两个变量的 22 列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C相关指数 R2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量，它满足 E（e）=0真题：【2014湖北卷 4】根据如下样本数据：得到的回归方程为 bxa，则( )y Aa0，b0 Ba0，b0 Da0，b0【2014 高考全国 2 第
25、 19 题】某地区 2007 年至 2013 年农村居 民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（）求 y 关于 t 的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，12niiitybaybtx 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0
