1、高等数学公式一、常用的等价无穷小当 0 时xsin tan arcsin arctan ln（1+ ） ex -1xxxax-1 ln a(1+ ) -1 ( 为任意实数，不一定是整数)1-cos 2x1增加-sin 3 对应 arcsin 36x61tan 3 对应 - arctan 3x1二、利用泰勒公式ex = 1 + + o（ ） ！2x2 ） （ 33o!sinxxcos = 1 o（ ） ln（1+ ）= o（ ）x！22xx22x导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， axactgxxctgln1)(logs)(e
2、s)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxaxdax axaxdaIndInnn rcsinl22)(1cossi2 22222020一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数角 Asin cos tg ctg- -sin cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -si
3、n -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式： 和差化积公式：倍角公式：2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCB
4、bAa2sinisin Cab反三角函数性质： rctgxarctgxxx2arcorci 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )曲率： .1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜
5、率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13124011010 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudx
6、vxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJyvvyGFJyuxxxx GFvuFvJvuyxF vu 隐 函 数 方 程 组 ：微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( )
7、,(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAffyxf xy重积分及其应用： DzDyDx zyxDyDx DyxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo IyI dxydyxzAyxfzrdrfdf232232232 2222 )(,)(,)(, )0( ),(,),(,),(1),()sin,co(),( ， ， ， 其 中 ：的 引 力 ：轴 上 质 点平 面 ） 对平 面 薄 片 （ 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 ： 平 面 薄 片 的 重 心 ：的 面 积曲 面微分方程的相关概念：即 得 齐 次 方 程
8、通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgyQdyPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程： )1,0()(2 )0)(, )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努
9、力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好
10、是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 )04(2qp xrecy1)(21一对共轭复根 241pqpirir， ， )sino2x二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm1、 行 列 式1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；n2n!n2n2. 代数余子式的性质：、 和 的大小
11、无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A3. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 4. 设 行列式 ：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；1D(1)21nD将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；90 2()2将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；33将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；D445. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角
12、元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；nA1()nknEASkS7. 证明 的方法：0、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rn、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为 0；是正定矩阵；
13、T的行（列）向量组是 的一组基；AnR是 中某两组基的过渡矩阵；nR2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；*AE3. 1*111*()()()TTA A *11TBBB4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：若 ，则：12sA、 ；12、 ；1121sA、 ；（主对角分块）11OB、 ；（副对角分块）11OABBO、 ；（拉普拉斯）11CC、 ；（拉普拉斯）111ABAB3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：mn；rnEOF等价类：
14、所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最A简单的矩阵；对于同型矩阵 、 ，若 ；B()rAB:2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即：BEB1；1(,),)cAB、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，nxb(,),rbEx:A且 ；1xb4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元12nAiiA素； 、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如：(,)Eij1(,)(,)ijEij；1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如：()Eik1()()ikEi
