1、1第二讲 行列式综合训练第一部分例 2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是 a，未写出的元素都是零=nD1a解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质方法 1 利用性质，将行列式化为上三角行列式= = -nD1ca=01a 1()na2n方法 2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式= -nD1r=1a nc=1a n2方法 3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式+nD1c展 开=1na 110()nna 而 =110()nna 最 后 列 展 开=21()n2na a= - = -nD1a2a2方法 4 利用公式 = AOB将最后一行逐行换到第 2 行，共换了 次；
2、将最后一列逐列换到第 2 列，也共换了2n次2n2= = = -nD2()1na 1a2na 2n方法 5 利用公式 = AOB例 2.2 计算 n 阶行列式：( )1212nn nabaDb 120nb解 采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素 ，可在保持12,na原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素12120nn naabDaab升 阶 213nr 120nnbb=12,jcbjn 121200nbb 112()nnab 这个题的特殊情形是=1212nn naxaDx 1()nia可作为公式记下来例 2.3 计算 阶
3、行列式：3121n naDa其中 120na解 这道题有多种解法方法 1 化为上三角行列式 nD12,ir 211naa 12,jacj 210nba其中 ，于是 12niba1niaD121i方法 2 升阶（或加边）法 1201n naDa升 阶 12,3ir 120naa11 12,2 12jnijca njn inaaa 方法 3 递推法将 改写为nD1210n naa+n按 c拆 开 121a 120na4由于 121a ,inr 12a 121na120naa n按 c展 开 1nD因此 = 为递推公式，而 ，于是nD1a21 11a= =n121na 2na 121nn= =12n
4、 211nnD = =12na 12na 12na 121naa例.4 设 ，证明存在 使 .34)(xxf ),0(0)(f证 因为 是关于 的二次多项式多项式,在 上连续,(0,1)内可导,且()f 1,0312)0(f 0()12f由罗尔定理知,存在 ,使 .)()(f例 2.5 计算 = D2244abcd解 这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解方法 1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作5D2431ra22222110()()()bacda1c展 开=()()bacd22211()()()bcdaa（ + ）3r拆 开 ()()c33cdb22b
5、cd其中 331bcd231r2210()()cb= )b()()cd= (cdbc由于 是范德蒙行列式，故 =221bcd221dbc()()bdc=D()a()(bac)()方法 2 2134c22244400dacab1r展 开=()()cd222111)()()(acadab213c()()ba20)(cdbaxy1c展 开=()()cdcbdxy6其中 ，22() )xcbacab22() )ydbacadb=D)d()c= (c)c方法 3 用升阶法由于行列式中各列元素缺乏 3 次幂的元素，在 中添加 3 次幂的D一行元素，再添加一列构成 5 阶范得蒙行列式：=5D22233344
6、411abcdx按第 5 列展开得到的是 的 4 次多项式，且 的系数为x3x54(1)AD又利用计算范得蒙行列式的公式得=5D()()bacdax()()cbdxb()dcxd= a= ()()c()cc43()xcx其中 的系数为3xbadabd)bd由 的系数相等得：=D()c()(c)()cc例 2.6 设 ，计算 A41 + A42 + A43 + A44 = ? 其中 A4j(j= 1, 2, 3, 4)是43215|A|A|中元素 a4j 的代数余子式.解 直接求代数余子式的和工作量大可将 改写为41243，故4124341A7A41 + A42 + A43 + A44 1324
7、56023= =4160()2362103例 2.7 求解方程: 11() 021(1)xf nx解 方法 1=()fx12,irn 00(2)xnx )2()1)(nxn由题设知 0)()1)( xxfn所以 是原方程的解.2,1,0121n方法 2 由题设知 ,当 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式,0nx值为零,因此 可写成)(f )2()1xAx于是原方程 的解为:0()nf ,0121xx例 2.8 计算元素为 aij = | ij|的 n 阶行列式.解 方法 1 由题设知， =0， ， ，故1121,na 801120nnD 1,2irn 01n1,jnc 1202()()
8、0n 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第 列n方法 2 01120nnD 1, 120irn =12, 231jcnn 12()()n例 2.9 计算行列式 221220bdcaD解 方法 1 按第一列展开：- = -1220acb012dca1bdca12bdca=（ - =（ - （ -2a1c） 2b） 1）c方法 2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第 2、3 行，有：=（ （123()Ddb2ac1dc） ba2dc）9例 2.10 计算 = ，其中未写出的元素都是 02nD1nnnnabcd 解 方法 1 利用公式 = AOB采用逐行操作，将最后
9、一行逐行和上行进行对换，直到换到第 2 行（作 次相邻2n对换） ；最后一列逐列和上列换，换到第 2 列（作 次相邻对换） ，得到n=2nD2()1n1 111 1000nn nn nabcdbacd = = =2D(1)n)adbc2(1)nD)adbc11()nndbc()n= = = )nnadbc11()nndbc 1()adbc1()niiiadbc方法 2 利用行列式展开定理进行求解2nD1r展 开=1 111 100n nn nabacdd 10+ 12()nb1 111 100n nn nabcdc 上面第 1 个行列式是 的形式，而第 2 个行列式按第 1 列展开，所以AOB=2nD122()nnadbcD= = =(nn2(1) 1()niiiadbc例 2.11 计算 5000101aDaa解 方法 采用递推的方法进行求解 5D125c 0101aaa+1c展 开=001a510()1aa即 ， ，51454()D433()Da， 3232a2故 4551a方法 2 采用降阶的方法进行求解
