1、- 1 -15 相交线与平行线知识点梳理汇总一、知识结构图余角余角补角补 角角 两线相交 对顶角同位角三线八角 内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、如果两个角 的和是平角，那么称这两个角互为 补角，简称为互补，称其中一 个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1） 则 (同角的
2、余角或补角相等)。0029(18),39(8),23相交线与平行线- 2 -（2） 且 则 (等角的余角0019(8),349(18),4,23（或补角）相等)。6、余角和补角的性质是证明 两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两 个角相等的依据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所 截，形
3、成了 8 个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且 在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角 ：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角 、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。- 3 -3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。4、对顶角既有 数
4、量关系，又有位置关系。（五）平行线的判定与性质平行线的判定 平行线的性质1、 同位角相等，两直线平行2、 内错角相等，两直线平行3、 同旁内角互补，两直线平行4、 平行于同一条直线的两直线平行5、 垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（六）尺规作线段和角(了解)1、在几何里，只用没有刻度的直 尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功
5、能是：（1）以任意一点为圆心，任 意长为半 径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、熟练掌握以下 作图语言：（1）作射线；（2）在射线上截取=；（3）在射线上依次截取=；（4）以点为圆 心，为半径画弧，交 于点；（5）分别以 点、点为圆心，以 、为半径作弧，两弧相交于点；- 4 -ODC BA（6）过点和点画直线（或画射线） ；（7）在的外部（或内部 ）画=；6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段=；（2 ）画=；第五章 相交线与平行线 (分节知识点) 5.1.1 相交线（详见课本第 2 页）1、相交线的
6、概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图所示，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O。2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图所示，1 与3、2 与4 都是对顶角。3、对顶角的性质：对顶角 。4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图所示，1 与2 互为邻补角，由平角定义可知12180。5.1.2 垂线（详见课本第 3 页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互
7、相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。 2、垂线的性质（1） （垂线公理）性质 1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 。（2） （垂线推理）性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最 。3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 4 3 21ABCDO 21 OC BA A B C D 1 图 2图 1- 5 -。4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，
8、三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。5.1.3 同位角、内错角、同旁内角（详见课本第 6 页）1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图 6，直线 被直线 所截ba,l1 与5 在截线 的同侧，同在被截直线 的上方，叫做 角（位置相同）ba,同位角是“F”型5 与3 在截线 的两旁 （交错） ，在被截直线 之间（内） ，l ,叫做 角（位置在内且交错）内错角是“Z”型5 与4 在截线 的同侧，在被截直线 之间（内） ，l ba,叫做 角。同旁内角是“I”型2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的
9、“三线” ，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。如图温馨提示：在确定同位角、内错角、同旁内角时，先要弄清哪两条直线被哪一条直线所截，然后依据它们的定义，也可由它们的名字的提示，准确找到所需要的角。同学们要注意：并不是同位角、内错角就相等，同旁内角就互补，而只有当这两条直线平行时，才会有这个性质。5.2.1 平行线（详见课本第 11 页）1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线。6BA D23 45 789FEC- 6 -2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： ； 。 （通常把 的两直线看成一条直线）.垂直是特殊的相
10、交关系。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：3、平行线的表示方法平行用“ ”表示，如图 8 所示，直线 AB 与直线 CD 平行，记作 ABCD，读作 AB 平行于 CD。4、平行线的画法：5、平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线 一点，有且只有 条直线与已知直线 。 （2）平行推理：如果两条直线都和第 条直线平行，那么这两条直线也 。如左图 8 所示5.2.2 平行线的判定（详见课本第 12 页）1、平行线的判定方法：（1）判定 1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称： 同位角 ，两直线 （2）判定 2：两条直线被第三条直线
11、所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称： 内错角 ，两直线 （3）判定 3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称： 同旁内角 ，两直线 （4）平行线的概念：如果两条直线没有交点（不 ） ，那么两直线平行。（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 。 （平行于同一条直线的两条直线也 ）（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线 。 （垂直于同一条直线的两条直线 ）5.3.1 平行线的性质（详见课本第 18 页）1、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线 ，同位角 。（2）两条平行线被第三条
12、直线所截，内错角相等。简记：两直线 ，内错角 。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线 ，同旁内角 。2、两条平行线的距离直线 ABCD，EF AB 于 E，EF CD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB 与CD 间的距离。3平行线的性质与判定是互逆的关系:abcA BC DEF1234图 7 DCBA图 8- 7 -两直线平行 同位角相等； 两直线平行 内错角相等； 两直线平行 1 2 3同旁内角互补。5.3.2 命题、定理（详见课本第 20 页）1、命题的概念： 一件事情的语句，叫做命题。2、命题的组成：每个命题都是 、 两部分组成。 （1）题设是 事项；
13、 （2）结论是由已知事项 的事项。3、命题的表述句式：命题常写成“ ， ”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是 ，用“那么”开始的部分是 。4. 命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。5. 定理：经过推理得到的真命题称为定理。5.4 平移（详见课本第 28 页）1、平移变换的概念：把一个图形 沿某一 方向移动，会得到一个新图形的平移变换。2、平移的特征：大小： ； 形状： ； 位置： ； 对应点的连线： 且 。（1）经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。（2）经过平移后，对应点所连的线
14、段平行（或在同一直线上） 且相等。3.平移作图：平移作图的依据是平移的特征，其关键是确定平移后对应点的位置，并且在作图时要注意平移的方向和距离【考点例析】一、概念型考题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理，常以选择题为主要题型例 1如图 1，下列条件中，不能判断直线 的是（ ）12（A）1=3（B）2=3（C）4=5（D）2+4=180 0A DB E C F图 721345 12图 1- 8 -分析：本例可用平行线的判定方法采用排除法使问题得以解决A 中1 与3 为内错角，1=3 可得 ；12C 中4 与5 是两个相等的同位角，可得 ；D 中2 与4 是两个互补的同旁内角，可得 12只有
15、 B 不能确定答案：应选（B） 点评：本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理的理解与运用情况二、计算型考题主要考察平行线的性质；互余、互补角的性质，常以填空题为主要题型；例 2如图 2, ， 分别在 上， 为两平行线间一点，那么ab MN， ab， P（ ）13A B C D8027036540分析：此题考查平行线的性质. 点 P 为两平行线间折线的拐点，可过此点作 a 或 b 的平行线，并证明与 b 或 a 平行，从而可利用平行线的性质求解. 此题也可延长 MP 与直线 b 相交，从而可利用三角形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加辅助线，构造两平行线间的截线，或构造
16、三角形，再利用有关图形的性质证明求解.解：过点 P 作 PAa，则 180180=360，所以选择 123C。点评：本题虽然是选择题型，它重点考查学生运用平行线的性质、互余、互补角的性质等知识通过简单的推理计算来解决问题的三、说理型考题例 3小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图 3，所示的零件，工人师傅告诉他：ABCD，A=40，1=70，小明马上运用已学的数学知识得出了C 的度数，聪明的你一定知道C= 分析：本题源于生活实际问题，但考生可借助平行线的性质定理和三角形内角和定理，由此可获得两种解题思路解：方法 1：连结 AC，由 ABCD，得BAC+ACD=180，从而E
17、CD=180-40-（180-70）=30方法 2：过 E 作 EFAB，由平行线的性质定理，得BAE=AEF，DCE=FEC，从而DCE=1-A=70-40=30点评：本题主要运用了平行线的性质定理和三角形内角和定理，借助于添加辅助线EBAC DF 1图 3abMPN123图 2- 9 -的方法，将问题转化为可解问题，今后同学们经常会遇到这种带有“折线” 、 “拐角”类的题目，解决这类问题，必须要掌握“平移”与“分割”的思想，解决问题的办法有二：一要连结线段，构成三角形，然后运用三角形内角和定理；二是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决，但解本
18、题时，还要注意找准“内错角” ，否则容易出错！四、操作画图型例 4一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后(如图 4)，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A. 第一次向左拐 300，第二次向右拐 300 B. 第一次向右拐 500，第二次向左拐 1300C. 第一次向右拐 500，第二次向右拐 1300 D. 第一次向左拐 500，第二次向左拐1300分析：解决本题的关键是准确地画出示意图，如图 10：答案：应选 A.点评：本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，若画出上述图形来分析，结果是显然的，本题属于操作画图型中考题五、开放创新型主要考察学生的探究能力，常以解答题为
19、主要题型例 5如图 5，E 在直线 DF 上，B 在直线 AC 上，若AGB=EHF，C=D，试判断A 与F 的关系，并说明理由分析：从图中可以猜测A=F，但题目没有告诉 DFAC，所以需要根据已知条件说明 DFAC解：A=F理由：因为AGB=DGF，AGB=EHF，所以DGF=EHF，所以 BDCE，所以C=ABD，又C=D，所以D=ABD，所以 DFAC，所以A=F的点评：例 5 主要对学生的分析、探究、综合、发散等创新思维能力的考查，学生必须具有一定的归纳、探索及思考能力才能顺利解决问题相交线与平行线练习题1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种
20、关系的两个角，互为_.A B CD E FG H图 5BA300300 1300500D5001300C1300500图 4- 10 -2. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_.对顶角的性质：_ _.3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_.垂线的性质：过一点_一条直线与已知直线垂直.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做_.5. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一
21、方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_.6. 在同一平面内，不相交的两条直线互相_.同一平面内的两条直线的位置关系只有_与_两种.7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_.8. 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_.9. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ .
