1、第三章 K 元线性回归模型一、填空题1. 对于模型 ，i=1,2,n，一般经验认为，iikiii uXXY210满足模型估计的基本要求的样本容量为_ _ 2. 对于总体线性回归模型 ，运用最小二乘法欲iiiii 3210得到参数估计量，所要求的最小样本容量 应满足 或至少_。n3. 多元线性计量经济学模型的矩阵形式 ，对应的样本线性回归模型的矩阵形式 ，模型的最小二乘参数估计量 及其方差估计量 。4. 总平方和可以分解为 回归平方和 和 残差平方和 ，可决系数为 。5. 多元回归方程中每个解释变量的系数 （偏回归系数），指解释变量变化一个单位引起的被解释变量平均变化 个单位。6. 线性模型的含
2、义，就变量而言，指的是回归模型变量的 ；就参数而言，指的是回归模型中参数的 。通常线性回归模型指的是 。 二、问答题1 什么是多元回归模型？它与一元、二元回归模型有何区别？2 极大似然法（maximum likehood）的原理是什么？3 什么是拟合优度（R 2）检验？有什么作用？指对样本回归直线与样本观测值之间的拟合程度的检验。4 可决系数 R2 低的可能的原因是什么？5 多元回归的判断系数 R2 具有什么性质？运用 R2 时应注意什么问题？6 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？7 说明区间估计的含义。三、实践题1下表
3、给出三变量模型的回归结果：方差来源 平方和（ SS） 自由度（d.f.） 均方差(MSS)回归平方和(ESS) (RSS)EEESS(ESSEEES(ESS)65965 3 21988.33残差平方和(RSS) 77 11 7总平方和(TSS) 66042 14 4717.48要求：（1）样本容量是多少？（2）求 RSS？（3）ESS 和 RSS 的自由度各是多少？（4）求 和 ？2R（5）检验假设： 和 对 无影响。你用什么假设检验？为什么？1X2Y（6）根据以上信息，你能否确定 和 各自对 的贡献吗？1X2Y2下面给出依据 15 个观察值计算得到的数据，其中小写字母代表了各值与其样本均值的
4、离差。， ， ， 693.7Y760.421X0.82X269.042iy， ， 0.84521ix .ix 3.781ix， 9.2iy 0.479621i要求：（1）估计三个多元回归系数；（2）估计它们的标准差；并求出 与 ？2R（3）估计 、 95%的置信区间；（4）在 下，检验估计的每个回归系数的统计2 %5显著性（双尾检验） ；（5）给出方差分析表。（1）3考虑以下方程（括号内为估计标准差）： ，19n873.02R(0.658) (0.72) (0.8) 436452.8 1ttti UPW其中： 年的每位雇员的工资和薪水； 年的物价水平； 年的失业率。t t t要求：（1）对个人
5、收入估计的斜率系数进行假设检验； （2）讨论 在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论； 是否应从方程中1tP 1tP删除？为什么？4克莱因和戈德伯格曾用 1921-1941 年与 1945-1950 年（ 1942-1944 年战争期间略去）美国国内消费 C 和工资收入 W、非工资非农业收入 P、农业收入 A 的共 27 年时间序列资料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：， (1.09) (0.452) (0.17) (8.92) 593 tttt APWC 107.3F ,5.2R式中括号中的数字为相应参数估计量的标准误。试对该模型进行评价，指出其中存在的问题。 （显著性水平 ，
6、已知 ）%69.2)( t,3.),(0.2505.F5某地区通过一个样本容量为 722 的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为 ，R 2=0.214fedumesibedu1.1.94.36.10式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。问（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若 medu 与 fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要 sibs 增加多少？（2）请对 medu 的系数给予适当的解释。（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为 12 年，另一
7、个的父母受教育的年数为 16 年，则两人受教育的年数预期相差多少？6以企业研发支出（R 4.回归平方和；残差平方和；回归平方和与残差YXb1)( 12)()(iuXbVar平方和之比。5. ；6.非线性；非线性；变量非线性而参数为线性。二、问答题1. 答：回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂。2. 答：极大似然法（ ML）是不同于 OLS 法的另一种模型参数估计方法。ML 方法需要利用有关模型随机扰动项分布的知
8、识构建似然函数，然后利用使似然函数最大的方法得出参数估计。其基本思路是确定观察到的样本数据最可能来自某个分布，该分布的参数值即为总体参数的估计量。3. 答：所谓拟合优度检验，指对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。如果所有的观测值都落在回归线上，称为“完全拟合” 。这种情况很少发生。一般情况下，总会出现围绕在回归直线周围的正或负的残差。通过对残差的分析，有助于衡量回归直线与样本观察值的拟合程度。反映回归模型拟合优劣的一个数量指标是样本可决系数 R2，也称判定系数。另一个是对回归模型的 F 统计检验。估计方程的目的常常不是为了获得高 R2，而是要得到可靠的参数估计，以便利用估计结果进行统
9、计推断。注意不要将判断系数作为评价模型优劣的唯一标准。4. 答：可能由于：X 不是 Y 的良好解释变量；模型形式设定有误。一般地，利用时间序列数据估计的模型 R2 值较高，而利用截面数据估计的模型 R2 值较低。5. 答：R 2 的取值取决在 0 1 之间。若 Y 的全部变异都得到了解释，则 R2=1，若解释变量没有如何解释能力，有 R2=0。在模型中不包含常数项的情况下，R 2 的值可能超出01 范围；是解释变量的非减函数，即增加解释变量不会降低 R2，在大多数情况下，R 2会增大。在实际工作中，我们可以借助于 R2 的增减，判断回归模型不同表达形式的优劣。需要注意的是，对于不同因变量的回归
10、模型，比较 R2 的大小没有任何意义。用同一变量的不同数学表达式作为因变量，R 2 也是不可比的。时间序列数据建模中如果考虑了滞后的行为反应，导致样本区间发生变动，R 2 也不可比。6. 答：回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项 服从均值为 0 方差为iu的正态分布假定。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误差项不2相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。7. 答：区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围。三、实践题2.
11、解： 726.0 7581 0.4989.4765378 )1( 21121 22iiii xxxyyb736.275810 0.479689.4.3085. 22121212iiii iiii xxxyyb1572.3 0.8736.20.46.9620XbYb3821.6 129.4250736.4.786.09.4 53 )2( 2211 iiii xybxybyneu768.1215)()(00 AbVarbs其中： iiii ixxxXXA2121212同理，可得： ，0486.)(bse845.0)(bse拟合优度为： 9.22112iiiyxxR986.01)(122knR ，查
12、表得%5 ,.fd 5.)7.(tP，得到179.20486.719.2b 832.062.01b，得到.5.3. 574.894.2的 95%的置信区间：1b 3.0627.0 1b的 95%的置信区间： 2 5784.894.2 ，)3 ,21( 0:iHi:1i， ，查表得临界值为：%55.fd 179.2.t则： 则拒绝原假设：,179.2063.49768.1230 bt 0拒绝原假设：,.5.4.71bt 01拒绝原假设： ,179.236.8.0362bt 2（5）方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方差回归平方和 65963.018 2 32981.509残差平方和 79.2
13、507 12 6.6042总平方和 66042.269， ， 临界值为 3.89023.4960.53281F12,.%,5fdF值是显著的，所以拒绝零假设。5. 解：（1）预期 sibs 对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值-0.094 表明，在其他条件不变的情况下，每增加 1 个兄弟姐妹，受教育年数会减少 0.094 年，因此，要减少 1 年受教育的时间，兄弟姐妹需增加 1/0.094=10.6 个。（2）medu 的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保
14、持不变时，母亲每增加 1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加 0.131 年的教育机会。（3）首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.13112+0.21012=14.45210.36+0.13116+0.21016=15.816因此，两人的受教育年限的差别为 15.816-14.452=1.3646. 解：（1）log(x1) 的系数表明在其他条件不变时， log(x1)变化 1 个单位，Y 变化的单位数，即Y=0.32 log(X1)0.32(X1/X1)=0.32100%，换言之，当企业销售 X1 增长 100%时，企业研发支出占销售额的比重 Y 会增加 0.32 个百分点
15、。由此，如果 X1 增加 10%，Y 会增加 0.032 个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。 （2）针对备择假设 H1： ，检0验原假设 H0： 。易知计算的 t 统计量的值为 t=0.32/0.22=1.468。在 5%的显著性水1平下，自由度为 32-3=29 的 t 分布的临界值为 1.699（单侧） ，计算的 t 值小于该临界值，所以不拒绝原假设。意味着 R&D 强度不随销售额的增加而变化。在 10%的显著性水平下，t 分布的临界值为 1.311，计算的 t 值小于该值，拒绝原假设，意味着 R&D 强度随销售额的增加而增加。7. 解：（1）直接给出了 P-值，所以没有必要计算 t-统计值以及查 t 分布表。根据题意，如果 p-值0，事实上其3估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期40，事实其估计值也是如此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期 估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。出乎预料的是，地方税与州税为3不显著的。由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。虽然模型 A 是这种情况，但它们的影响却非常微弱。
