1、 283 课题 ： 等差数列 考纲要求： 理解等差数列的概念 . 掌握等差数列通项公式与前 n 项和公式 . 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题 . 了解等差数列与一次函数的关系 教材复习 基本知识方法 1. 等差数列的判定方法 ： 1 定义法： 1nnaa 常数（ *nN ） na 为等差数列； 2 中项公式法： 122 n n na a a （ *nN ） na 为等差数列； 3 通项公式法： na kn b（ *nN ） na 为等差数列； 4 前 n 项求和法： 2nS pn qn（ *nN ） na 为等差数列； 2. 等差数列的相关性质 : 1 等
2、差数列 na 中， mna a m n d ，变式 mnaad mn ； 2 等差数列 na 的任意连续 m 项的和构成的数列 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S仍为等差数列 3 等差数列 na 中，若 m n p q ，则 qpnm aaaa ， 等差数列 等比数列 定义 1nna a d （ 1,2,3n ，） 1nna qa （ 1,2,3n ，） 通项公式 1 1na a n d ， nma a n m d 11 nna aq ， nmnma a q 求和 公式 1 12n nnS na d 12 nn a a 11( 1 )1 ( 1 )1nnna qS aq
3、qq 中项 公式 12 ()A a b G ab 对称性 若 m n p q ，则 m n p qa a a a 若 m n p q ，则 m n p qa a a a 分段和原理 mS 、 2mmSS 、 32mmSS 成等差数列 mS 、 2mmSS 、 32mmSS 成等比数列 284 若 2m n p ，则 2m n pa a a 4 等差数列 na 中， 2nS an bn（其中 1 ,02a d d） 5 两个等差数列 na 与 nb 的和差的数列 nnab 仍为等差数列 6 若 na 是公差为 d 的等差数列 ,则其子列 2, , ,k k m k ma a a+ L也是等差数列
4、 , 且公差为 md ; nka 也是等差数列 ,且公差为 kd 7 在项数为 21n 项的等差数列 na 中， 2 + 1= ( + 1 ) , = , = ( 2 + 1 )nS n a S n a S n a奇 中 偶 中 中； 在项数为 2n 项的等差数列 na 中 2 + 1 1= , = , = ( )n n n n nS n a S n a S n a a1奇偶 8 等差数列 na 中， nSn也是一个等差数列，即 点 ( ), nna （ *nN ） 在一条直线上 ; 点 ( ), nSn n （ *nN ） 在一条直线上 . 9 两个等差数列 na 与 nb 中 , ,nnS
5、T 分别是它们的前 n 项和 ,则 2121nnaSbT. 典例分析： 考点一 等差数列的基本计算 问题 1 1 （ 01 全国）设数列 na 是递增等差数列，前三项的和为 12 ，前三项的 积为 48 ，求 1a 2 （ 04 全国文）等差数列 na 的前 n 项和记为 nS ，已知 10 30a ，20 50a ， 求通项 na ； 若 242nS ，求 n 考点二 等差数列性质的应用 问题 2 1 (03 北京春 )在 等差数列 na 中，已知 1 2 3 4 5 20a a a a a ， 则 3a .A 4 .B 5 .C 6 .D 7 285 2 （ 08 届高三湖南师大附中第二次
6、月考）在等差数列 na 中， 1 8 153 120a a a ，则 9 102aa .A 24 .B 22 .C 20 .D 8 3 （ 04 全国理）等差数列 na 中， 1 2 3 24a a a ， 18 19 20 78a a a ， 则此数列前 20 项和等于 .A 160 .B 180 .C 200 .D 220 4 （ 04 东北三校）设 等差数列 na 的前 n 项和记为 nS ，若 2 8 515a a a ， 则 9S .A 60 .B 45 .C 36 .D 18 考点三 等差数列的函数特征 问题 3 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 3 12a ， 1
7、2 0S ， 13 0S ( )求公差 d 的取值范围； ( )指出 1S , 2S , , 12S ，中哪一个值最大 ,并说明理由新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆问题 4 等差数列 na 中， 5 5S ， 10 15S ，求数列 nSn的前 n 项和 nT 考点四 等差数列的判定与证明 问题 5 已知数列 na 的 前项和为 nS ，且 120n n na S S 2n ，1 12a286 1 求证： 1nS为等差数列， 2 求 na
8、 的表达式 . 问题 6 在数列 na 中， 1 3a ， 12 2 3nnnaa （ n 2 ， nN ） . 1 求 23,aa的值； 2 设 32nn nab （ nN ），求证： nb 是等差数列 . 课后作业： 1. 填空： 1 若一个 等差数列前 3 项的和为 34 ，最后三项的和为 146 ，且所有项的和为 390 ,则这个数列有 项； 2 等差数列 前 m 项和 是 30 ， 前 2m 项和 是 100 ，则它的 前 3m 项和 是 3 若 na 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 如果 1 4 7 2 890a a a a , 那么287 4 6 8 5 0a a a
9、 a 2. 含 21n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为 .A 21nn .B 1nn .C 1nn .D 12nn 3. 已知 5 个数成等差数列，它们的和为 5 ，平方和为 859 ，求这 5 个数新疆源 头学 子 小屋 特 级教 师 王 新敞 htp:/ 新敞 特 级教 师 源 头学 子 小屋 新疆4. 等差数列 na 中共有 21n 项，且此数列中的奇数项之和为 77 ，偶数项之和为 66 ，1 1a ，求其项数和中间项 . 5. （ 06 宿迁模拟）已知数列 na 中 3 2a ， 7 1a ，若 11na为等差数列，则 11a .A 0 .B 12 .C 23 .D 2
10、 6. （ 06 潍坊模拟） 等差数列 na 中， 1 8a ， 5 2a ，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等差数列，那么新的等差数列的公差是 .A 34 .B 34 .C 67 .D 1 7. 在等差数列 na 中， 353 aa 7 1 0 1 32 ( ) 2 4a a a ，则此数列的前 13 项之和等于 288 .A 13 .B 26 .C 52 .D 156 8.（ 06 江南十校）已知函数 () 31xfx x ，数列 na 满足 1 1a ， 1 ( ) *nna f a n N 1 求证：数列 1na是等差数列； 2 记 212nn nx x xSx a a a ，
11、求 nSx. 5. （ 06 汕头模拟）已知数列 na 中， 1 35a ，数列112nna a （ 2, *n n N ）数列 nb 满足 11n nb a （ *nN ） . 1 求证：数列 nb 是等差数列； 2 求数列 na 的最大项与最小项，并说明理由 . 289 走向高考： 1. （ 03 全国）等差数列 na 中，已知 1 13a ， 254aa， 33na ，则 n 是 .A 48 .B 49 .C 50 .D 51 2.（ 02 春高考）设 na （ *nN ）是等差数列， nS 是前 n 项和， 56SS ， 6 7 8S S S， 则下列结论错误的是 .A 0d .B 7
12、 0a .C 95SS .D 6S 与 7S 均为 nS 的最大项 3. （ 04 福建文）设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 5359aa ，则 95SS .A 1 .B 1 .C 2 .D 21 4. （ 06 全国）设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 3613SS ，则 612SS .A 310 .B 13 .C 18 .D 19 5. （ 06 福建）在等差数列 na 中，已知 1 2 32, 13,a a a 则 4 5 6a a a .A 40 .B 42 .C 43 .D 45 6. （ 06 广东）已知等差数列共有 10项，其中奇数项之和 15 ，偶数项
13、之和为 30 ，则 其公差是 .A 5 .B 4 .C 3 .D 2 290 7. (06 陕西文 ) 已知等差数列 na 中， 288aa，则该数列前 9 项和 9S 等于 .A 18 .B 27 .C 36 .D 45 8. (06 江西文 ) 在各项均不为零的等差数列 na 中，若 2110n n na a a ( 2)n ，则214nSn .A 2 .B 0 .C 1 .D 2 9. (06 全国文 ) 设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和 ， 若 7 35S ， 则 4a .A 8 .B 7 .C 6 .D 5 10. (06 山东文 ) 等差数列 na 中， 4 14S ，
14、10 7 30SS，则 9S 11. （ 03 上海春）设 1() 22xfx ，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 ( 5 ) ( 4 ) (0 ) ( 5 ) (6 )f f f f f 12. （ 2013 新课标全国） 设等差数列 na 的前 n 项和为 11, 2 , 0 , 3n m m mS S S S ，则 m .A 3 .B 4 .C 5 .D 6 291 13. （ 07 海南） 已知 na 是等差数列， 10 10a ，其前 10项和 10 70S ，则其公差 d .A 23 .B 13 .C 13 .D 23 14. （ 07 陕西文）等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 2S ， 4 10S ，则 6S 等于 .A 12 .B 18 .C 24 .D 42 15. （ 07 辽宁） 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 9S ， 6 36S ，则 7 8 9a a a .A 63 .B 45 .C 36 .D 27 16. （ 2013 全国大纲）等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 232=Sa，且 1 2 4,S S S 成等比数列，求 na 的通项公式 .
