1、 第 1 页 共 10 页 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A B 为从集合 A 到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域 注意： 1定义域： 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于 零； (2
2、)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零 ， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . 相同函数的判断方法 ：表达式相同 （ 与表示自变量和函数值的字母无关 ） ； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2 值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
3、 y=f(x) , (x A)中的 x为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 （ 1）区间的分类：开区间、闭 区间、半开半闭区间 （ 2）无穷区间 （ 3）区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、 B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f
4、，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯第 2 页 共 10 页 一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A B为从集合 A到集合 B的一个映射。记作“ f（对应关系） ： A（原象） B（象） ” 对于映射 f： A B来说，则应满足： (1)集合 A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A中不同的元素，在集合 B 中对应 的象可以是同一个； (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的
5、交 集，值域是各段值域的并集 补充 ：复合函数 如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),则 y=fg(x)=F(x)(x A) 称为 f、 g的复合函数。 二 函数 的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) （ 1） 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区 间D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x11，且 n N * 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 00n 。 当 n 是奇数时， aan n ，当 n 是偶数时， )0( )0(| aaaaaan n2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,0( * nNnma
6、aa n mnm ，)1,0(11 * nNnmaaaa n mnmnm 第 5 页 共 10 页 0的正分数指数幂等于 0， 0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （ 1） ra srr aa ),0( Rsra ； （ 2） rssr aa )( ),0( Rsra ； （ 3） srr aaab )( ),0( Rsra （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0( aaay x 且 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质 a1 01 00， a 0，函数
7、 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是 ( ) 2.计算： 64log 2log273; 3log4 22 = ； 2log227log 553125 = ; 213431 01.016)2()87(0 6 4.0 75.030 = 3.函数 y=log21(2x2-3x+1)的递减区间为 第 8 页 共 10 页 4.若函数 )10(log)( axxf a 在区间 2, aa 上的最大值是最小值的 3 倍， 则 a= 5.已知 1( ) lo g ( 0 1)1a xf x a ax 且，（ 1） 求 ()fx的定义域（ 2）求使 ( ) 0fx 的 x 的取值范围 第三章 函数的
8、应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数 )( Dxxfy ，把使 0)( xf成立的 实数 x 叫做函数 )( Dxxfy 的零点。 2、函数零点的意义：函数 )(xfy 的零点就是方程 0)( xf 实数根，亦即函数 )(xfy 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即：方程 0)( xf 有实数根 函数 )(xfy 的图象与 x 轴 有交点 函数 )(xfy 有零点 3、函数零点的求法： 1 （代数法）求方程 0)( xf 的实数根； 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数
9、)0(2 acbxaxy （ 1） ，方 程 02 cbxax 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点 （ 2） ，方程 02 cbxax 有两相等实根，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 （ 3） ，方程 02 cbxax 无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无零点 5.函数的模型 检验 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际 第 9 页 共 10 页 高中数学函数的图象变换经典 1、对称变换 )(xfy )( xfy ，关于 Y 轴对称（与偶函数联系起来记忆）； )
10、(xfy )( xfy ，关于坐标原点对称（与奇函数联系起来记忆）； )(xfy )(xfy ，关于 X 轴对称； )(xfy )(xfy 利用 0y 作图，将 x 轴下方的图象上翻。 )(xfy ()y f x 利用偶函数作图，图象关于 y 轴对称 2、平移变换 )(xfy ( ), ( 0)y f x a a 向左 或 向 右平移 a 个单位（左“”右“”）； )(xfy ( ) , ( 0)y f x b b 向上或向下平移 b 个单位（上“”下“”）； 3、函数 ()y f x 的图象的对称性 )()( xbfaxf )(f 的对 称轴是 直线 2bax （自变量相加除 2 得对称轴）。 ( ) ( ) 2f a x f a x b )(xfy 关于点（ a， b ）中心对称。 特别地：函数 ()y f x 的图象关于直线 xa 对称( ) ( )f a x f a x (2 ) ( )f a x f x 。 4、几个结论： 若函数 )(xfy 是偶函数 ( ) ( )f x f x )()( axfaxf f(x)关第 10 页 共 10 页 于直线 x 0 对称； 若函数 )( axfy 是偶函数 )()( axfaxf f(x)关于直线 x a对称 函数 )( axfy 关于直线 x 0 对称。
