1、 新课标 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1 求过两点 )4,1(A 、 )2,3(B 且圆心在直线 0y 上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P 与圆的关系 分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内 解法一： （待定系数法） 设圆的标准方程为 222 )()( rbyax 圆心在 0y 上，故 0b 圆的方程为 222)( ryax 又该圆过 )4,1(A 、 )2,3(B 两点 22224)3(1
2、6)1(rara 解之得： 1a ， 202r 所以所求圆的方程为 20)1( 22 yx 解法二： （直接求 出圆心坐标和半径） 因为圆过 )4,1(A 、 )2,3(B 两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为131 24 ABk ，故 l 的斜率为 1，又 AB 的中点为 )3,2( ，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为：23 xy 即 01yx 又知圆心在直线 0y 上，故圆心坐标为 )0,1(C 半径 204)11( 22 ACr 故所求圆的方程为 20)1( 22 yx 又点 )4,2(P 到圆心 )0,1(C 的距离为 rPCd 254)12( 22 点
3、 P 在圆外 说明： 本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 例 2 求半径为 4，与圆 042422 yxyx 相切，且和直线 0y 相切的圆的方程 分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解 解： 则题意，设所求圆的方程为圆 222 )()( rbyaxC ： 圆 C 与直线 0y 相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 )4,(1 aC 或 )4,(2 aC 又已知圆 042422 yxyx 的圆心 A 的坐标为 )1,2( ，半径为
4、 3 若两圆相切，则 734 CA 或 134 CA (1) 当 )4,(1 aC 时， 222 7)14()2( a ，或 222 1)14()2( a ( 无解 ) ，故可得1022a 所求圆方程为 222 4)4()1022( yx ，或 222 4)4()1022( yx (2) 当 )4,(2 aC 时， 222 7)14()2( a ，或 222 1)14()2( a ( 无解 ) ，故622a 所求圆的方程为 222 4)4()622( yx ，或 222 4)4()622( yx 说明： 对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线 0y 相切且半径为 4，则圆心坐标为 )4
5、,(aC ，且方程形如222 4)4()( yax 又圆 042422 yxyx ，即 222 3)1()2( yx ，其圆心为)1,2(A ，半径为 3若两圆相切，则 34CA 故 222 7)14()2( a ，解之得 1022a 所以欲求圆的方程为 222 4)4()1022( yx ，或 222 4)4()1022( yx 上述误解只考虑了圆心在直线 0y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 0y 下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的 例 3 求经过点 )5,0(A ，且与直线 02 yx 和 02 yx 都相切的圆的方程 分析： 欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由
6、于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上 解： 圆和直线 02 yx 与 02 yx 相切， 圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 02 yx 和 02 yx 的距离相等 5252 yxyx 两直线交角的平分线方程是 03 yx 或 03 yx 又 圆过点 )5,0(A ， 圆心 C 只能在直线 03 yx 上 设圆心 )3,( ttC C 到直线 02 yx 的距离等于 AC ， 22 )53(532 tttt 化简整理得 0562 tt 解得： 1t 或 5t 圆心是 )3,1( ，半径为 5 或圆心是 )15,5( ，
7、半径为 55 所求圆的方程为 5)3()1( 22 yx 或 125)15()5( 22 yx 说明： 本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法 例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2； (2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 1:3 ，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 02 yxl： 的距离最小的圆的方程 分析： 要求圆的方程，只须 利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到
8、直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程 解法一： 设圆心为 ),( baP ，半径为 r 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a 由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x 轴所得弦长为 r2 22 2br 又圆截 y 轴所得弦长为 2 122 ar 又 ),( baP 到直线 02 yx 的距离为 52bad 22 25 bad abba 44 22 )(24 2222 baba 12 22 ab 当且仅当 ba 时取“ =”号，此时 55min d 这时有 1222 abba 11ba或 11ba又
9、22 22 br 故所求圆的方程为 2)1()1( 22 yx 或 2)1()1( 22 yx 解法二： 同解法一，得 52bad dba 52 222 5544 dbdba 将 12 22 ba 代入上式得： 015542 22 dbdb 上述方程有实根，故 0)15(8 2 d ， 55d 将 55d 代入方程得 1b 又 12 22 ab 1a 由 12 ba 知 a 、 b 同号 故所求圆的方程为 2)1()1( 22 yx 或 2)1()1( 22 yx 说明： 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5 已知圆 4
10、22 yxO： ，求过点 42，P 与圆 O 相切的切线 解： 点 42，P 不在圆 O 上， 切线 PT 的直线方程可设为 42 xky 根据 rd 21 42 2 kk解得 43k 所以 4243 xy 即 01043 yx 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x 说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）还可以运用 200 ryyxx ，求出切点坐标 0x 、 0y 的值来解决，此时没有漏解 例 6 两圆 0111221 FyExDy
11、xC ： 与 0222222 FyExDyxC ： 相交于 A 、 B 两点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程 分析： 首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧 解： 设两圆 1C 、 2C 的任一交点坐标为 ),( 00 yx ，则有： 0101012020 FyExDyx 0202022020 FyExDyx 得： 0)()( 21021021 FFyEExDD A 、 B 的坐标满足方程 0)()( 212121 FFyEExDD 方程 0)()( 212121 FFyEExDD 是过 A
12、、 B 两点的直线方程 又过 A 、 B 两点的直线是唯一的 两圆 1C 、 2C 的公共弦 AB 所在直线的方程为 0)()( 212121 FFyEExDD 说明： 上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设 而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛 例 7、过圆 122 yx 外一点 )3,2(M ，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分 别是 A 、 B ，求直线 AB 的方程。 练习：
13、1求过点 (3,1)M ，且与圆 22( 1) 4xy相切的直线 l 的方程 解：设切线方程为 1 ( 3)y k x ，即 3 1 0kx y k ， 圆心 (1,0) 到切线 l 的距离等于半径 2 ， 22| 3 1 | 21kkk ，解得 34k ， 切线方程为 31 ( 3)4yx ，即 3 4 13 0xy ， 当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为 3x ，圆心 (1,0) 到此直线的距离等于半径 2 ， 故直线 3x 也适合题意。 所以，所求的直线 l 的方程是 3 4 13 0xy 或 3x 2、过坐标原点且与圆 0252422 yxyx 相切的直线的方程为 解：设直线方
14、程为 kxy ，即 0ykx .圆方程可化为 25)1()2( 22 yx ，圆心为（ 2，-1），半径为 210 .依题意有210112 2 kk，解得 3k 或 31k ，直线方程为 xy 3 或xy 31 . 3、已知直线 0125 ayx 与圆 02 22 yxx 相切，则 a 的值为 . 解：圆 1)1( 22 yx 的圆心为（ 1， 0），半径为 1， 11255 22 a，解 得 8a 或 18a . 类型三：弦长、弧问题 例 8、求直线 063: yxl 被圆 042: 22 yxyxC 截得的弦 AB 的长 . 例 9、直线 0323 yx 截圆 422 yx 得的劣弧所对的
15、圆心角为 解：依题意得，弦心距 3d ，故弦长 22 22 drAB ，从而 OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为 3AOB . 例 10、求两圆 0222 yxyx 和 522 yx 的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 0323 yx 和圆 422 yx ，判断此直线与已知圆的位 置关系 . 例 12、若直线 mxy 与曲线 24 xy 有且只有一个公共点，求实数 m 的取值范围 . 解：曲线 24 xy 表示半圆 )0(422 yyx ，利用数形结合法，可得实数 m 的取值范围是 22 m 或 22m . 例 13 圆 9)3()3( 22 yx 上到直
16、线 01143 yx 的距离为 1 的点有几个？ 分析： 借助图形直观求解或先求出直线 1l 、 2l 的方程，从代数计算中寻找解答 解法一： 圆 9)3()3( 22 yx 的圆心为 )3,3(1O ，半径 3r 设圆心 1O 到直线 01143 yx 的距离为 d ，则 324311343322 d 如图，在圆心 1O 同侧，与直线 01143 yx 平行且距离为 1 的直线 1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意 又 123 dr 与直线 01143 yx 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意 符合题意的点共有 3 个 解法二： 符合题意的点是平行于直线 01143 yx ，
17、且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为 043 myx ，则 143 11 22 md， 511 m ，即 6m ，或 16m ，也即 06431 yxl： ，或 016432 yxl ： 设圆 9)3()3( 221 yxO ： 的圆心 到直线 1l 、 2l 的距离为 1d 、 2d ，则 343 63433 221 d ， 143 163433 222 d 1l 与 1O 相切，与圆 1O 有一个公共点； 2l 与圆 1O 相交，与圆 1O 有两个公共点即符合题意的点共 3 个 说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心 1O 到直线 01143 yx 的距离为 d
18、，则 324311343322 d 圆 1O 到 01143 yx 距离为 1 的点有两个 显然，上述误解中的 d 是圆心到直线 01143 yx 的距离， rd ，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一 般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断 练习 1：直线 1yx 与圆 )0(0222 aayyx 没有公共点，则 a 的取值范围是 解：依题意有 aa 21，解得 1212 a
19、. 0a ， 120 a . 练习 2：若直线 2kxy 与圆 1)3()2( 22 yx 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 . 解：依题意有 11122 kk ，解得 340 k ， k 的取值范围是 )34,0( . 3、 圆 034222 yxyx 上到直线 01yx 的距离为 2 的点共有（ ） （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 分析： 把 034222 yxyx 化为 821 22 yx ，圆心为 21， ，半径为22r ，圆心到直线的距离为 2 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2 ，所以选 C 4、 过点 43，P 作直线 l ，
20、当斜率为何值时，直线 l 与圆 421 22 yxC： 有公共点，如图所示 分析： 观察动画演示，分析思路 解： 设直线 l 的方程为 34 xky 即 043 kykx 根据 rd 有 21 432 2 kkk 整理得 043 2 kk 解得 340 k 类型五：圆与圆的位置关系 问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？ 例 14、判断圆 02662: 221 yxyxC 与圆 0424: 222 yxyxC 的位置关系 ， 例 15：圆 0222 xyx 和圆 0422 yyx 的公切线共有 条。 解：圆 1)1( 22 yx 的圆心为 )0,1(1O ，半径 11r ，圆 4)2( 22 y
21、x 的圆心为 )2,0(2 O ，半径 22r ， 1,3,5 122121 rrrrOO . 212112 rrOOrr ，两圆相交 .共有 2条公切线。 练习 P E O y x 1：若圆 042 222 mmxyx 与圆 08442 222 mmyxyx 相切，则实数 m 的取值集合是 . 解：圆 4)( 22 ymx 的圆心为 )0,(1 mO ，半径 21r ，圆 9)2()1( 22 myx 的圆心为)2,1(2 mO ，半径 32r ，且两圆相切， 2121 rrOO 或 1221 rrOO ，5)2()1( 22 mm 或 1)2()1( 22 mm ，解得 512m 或 2m
22、 ，或 0m 或 25m ，实数 m 的取值集合是 2,0,25,512 . 2：求与圆 522 yx 外切于点 )2,1(P ，且半径为 52 的圆的方程 . 解：设所求圆的圆心为 ),(1 baO ，则所求圆的方程为 20)()( 22 byax .两圆外切于点 P ，131OOOP， ),(31)2,1( ba ， 6,3 ba ，所求圆的方程为 20)6()3( 22 yx . 类型六：圆中的对称问题 例 16、圆 22 2 6 9 0x y x y 关于直线 2 5 0xy 对称的圆的方程是 例 17 自点 33，A 发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，反射光线所在的直线与圆 074422 yxyxC ： 相切 （ 1）求光线 l 和反射光线所在的直线方程 （ 2）光线自 A 到切点 所经过的路程 分析、略解： 观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点 A的对称点 A 的坐标为 33， ，其次设过 A 的圆 C 的切线方程为 33 xky 根据 rd ， 即求出圆 C 的切线的斜率为 34k 或 43k 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 0334 yx 或 0343 yx 最后根据入射光与反射光关于 x 轴对称，求出入射光所在直线方程为 0334 yx 或 0343 yx G O B N M y A x 图3 C A
