高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套).doc

1、第 1 页 共 15 页 1 / 15 高等数学（下册） 考试试卷（一） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、 z = )0()(lo g 22 ayxa 的定义域为 D= 。 2、二重积分 1|22 )ln(yx dxdyyx的符号为 。 3、由曲线 xy ln 及直线 1 eyx ， 1y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其 值为 。 4、设曲线 L 的参数方程表示为 ),()( )( xty tx则弧长元素 ds 。 5、设曲面 为 922 yx 介于 0z 及 3z 间的部分的外侧，则 dsyx )122（。 6、微分方程 xyxydxdy tan 的通解为 。 7、方

2、程 04)4( yy 的通解为 。 8、级数 1 )1(1n nn的和为 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、二元函数 ),( yxfz 在 ),( 00 yx 处可微的充分条件是（ ） （ A） ),( yxf 在 ),( 00 yx 处连续； （ B） ),( yxfx ， ),( yxfy 在 ),( 00 yx 的某邻域内存在； （ C） yyxfxyxfz yx ),(),( 0000 当 0)()( 22 yx 时，是无穷小； （ D） 0)()(),(),(lim22000000 yxyyxfxyxfz yxyx。 2、设 ),()(xyxfyxyfu 其中 f

3、 具有二阶连续导数，则2222yuyxux 等于（ ） （ A） yx ； （ B） x ； (C)y ； (D)0 。 3、设 ： ,0,1222 zzyx 则三重积分 zdVI等于（ ） 第 2 页 共 15 页 2 / 15 （ A） 4 20 2010 3 c o ss in drrdd ；（ B） 20 010 2 s in drrdd ； （ C） 20 2010 3 c o ss in drrdd；（ D） 20 0 10 3 c o ss in drrdd。 4、球面 2222 4azyx 与柱面 axyx 222 所围成的立体体积 V=（ ） （ A） 20c o s20 2

4、244 a drrad ； （ B） 20c o s20 2244 a drrard ； （ C） 20c o s20 2248 a drrard ； （ D） 22co s20 224 a drrard。 5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 ),(),( yxQyxP 在 D 上具有一阶连续偏导数，则 L Q dyP dx )(（ A） D dxdyxQyP )(； （ B） D dxdyxPyQ )(； （ C） D dxdyyQxP )(； （ D） D dxdyyPxQ )(。 6、下列说法中错误的是（ ） （ A） 方程 02 2 yxyyx 是三

5、阶微分方程； （ B） 方程 xydxdyxdxdyy s in 是一阶微分方程； （ C） 方程 0)3()2( 22232 dyyxydxxyx 是全微分方程； （ D） 方程 xyxdxdy 221 是伯努利方程。 7、已知曲线 )(xyy 经过原点，且在原点处的切线与直线 062 yx 平行，而 )(xy 满足微分方程052 yyy ，则曲线的方程为 y （ ） （ A） xex 2sin ； （ B） )2c o s2(sin xxe x ； （ C） )2sin2(c o s xxe x ； （ D） xex 2sin 。 8、设 0lim nn nu, 则 1n nu（ ） 第

6、3 页 共 15 页 3 / 15 （ A）收敛； （ B）发散； （ C）不一定； （ D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（ 7 分）设 gf, 均为连续可微函数。 )(),( xyxgvxyxfu ， 求yuxu ,。 2、（ 8 分）设 tx tx dzzftxu )(),(，求 tuxu , 。 四、求解下列问题（共计 15 分）。 1、计算 I 20 2 2x y dyedx。（ 7 分） 2、计算 dVyxI )(22，其中 是由 x 21,222 zzzy 及所围成的空间闭区域（ 8 分） 五、（ 13 分）计算 L yxydxxdyI 22 ，其中 L 是

7、 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点 )0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。 六、（ 9 分）设对任意 )(, xfyx 满足方程)()(1 )()()( yfxf yfxfyxf ，且 )0(f 存在，求 )(xf 。 七、（ 8 分）求级数 11212 )2()1(nnn nx 的收敛区间。 第 4 页 共 15 页 4 / 15 高等数学（下册） 考试试卷（二） 1、设 zyxzyx 32)32s in (2 ，则 yzxz。 2、 xyxyyx93lim00。 3、设 20 2 ),(xx dyyxfdxI，交换积分次序后， I 。 4、设 )(uf 为可微函数，且 ,0)

8、0( f 则 222)(1lim 2230tyxtdyxft 。 5、设 L 为取正向的圆周 422 yx ，则曲线积分 L xx dyxyedxyey )2()1( 。 6、设 kxyzjxzyiyzxA )()()( 222 ，则 Adiv 。 7、通解为 xx ececy 221 的微分方程是 。 8、设 x xxf 0,1 0,1)(，则它的 Fourier 展开式中的 na 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）。 1、设函数0,00,),(2222422yxyxyx xyyxf ,则在点（ 0， 0）处（ ） （ A）连续且偏导数存在； （ B）连续但偏导数不存 在； （

9、 C）不连续但偏导数存在； （ D）不连续且偏导数不存在。 2、设 ),( yxu 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 02 yxu 及 22xu 022 yu ， 则（ ） （ A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部； （ B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （ C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （ D） 最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。 第 5 页 共 15 页 5 / 15 3、设平面区域 D： 1)1()2( 22 yx ，若 D dyxI 21 )(， D dyxI 32 )(则有（ ） （ A） 21 II ；

10、（ B） 21 II ； （ C） 21 II ； （ D）不能比较。 4、设 是由曲面 1, xxyxyz 及 0z 所围成的空间区域，则 dxdydzzxy32=（ ） （ A） 3611 ； （ B） 3621 ； （ C） 3631 ； （ D） 3641 。 5、设 ),( yxf 在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为 )()(ty tx )( t ，其中 )(),( tt 在, 上具有一阶连续导数，且 0)()( 22 tt ， 则曲线积分 L dsyxf ),( （ ） (A) dtttf )(),(； (B) dtttttf )()()(),( 22； (C) dt

11、ttttf )()()(),( 22； (D) dtttf )(),(。 6、设 是取外侧的单位球面 1222 zyx ， 则曲面积分 zd xd yyd zd xxd yd z =（ ） (A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D) 4 。 7、下列方程中，设 21,yy 是它的解，可以推知 21 yy 也是它的解的方程是（ ） (A) 0)()( xqyxpy ； (B) 0)()( yxqyxpy ； (C) )()()( xfyxqyxpy ； (D) 0)()( xqyxpy 。 8、设级数 1n na为一交错级数，则（ ） (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散； (C)该

12、级数可能收敛也可能发散； (D)若 )0(0 nan ，则必收敛。 三、求解下列问题（共计 15 分） 1、（ 8 分）求函数 )ln ( 22 zyxu 在点 A（ 0， 1， 0）沿 A 指向点 B（ 3， -2， 2） 的方向的方向导数。 2、（ 7 分）求函数 )4(),( 2 yxyxyxf 在由直线 0,0,6 xyyx 所围成的闭区域 D 上的最大值和最小值。 四、求解下列问题（共计 15 分） 第 6 页 共 15 页 6 / 15 1、（ 7 分）计算 3)1( zyxdvI ，其中 是由 0,0,0 zyx 及 1 zyx 所围成的立体域。 2、（ 8 分）设 )(xf 为

13、连续函数，定义 dvyxfztF )()(222， 其中 222,0|),( tyxhzzyx ，求 dtdF 。 五、求解下列问题（ 15 分） 1、（ 8 分）求 L xx dymyedxmyyeI )c o s()s in(，其中 L 是从 A（ a， 0）经 2xaxy 到 O（ 0， 0）的弧。 2、（ 7 分）计算 d x d yzd zd xyd y d zxI222，其中 是 )0(222 azzyx 的外侧。 六、（ 15 分）设函数 )(x 具有连续的二阶导数，并使曲线积分 L x dyxy d xxexx )()(2)(3 2 与路径无关，求函数 )(x 。 第 7 页

14、共 15 页 7 / 15 高等数学（下册） 考试试卷（三） 一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分） 1、设 yzxz t dteu 2， 则 zu 。 2、函数 )2s in (),( yxxyyxf 在点（ 0， 0）处沿 )2,1(l 的方向导数 )0,0(lf= 。 3、设 为曲面 0,1 22 zyxz 所围成的立体，如果将三重积分 dvzyxfI ),(化为先对 z 再对y 最后对 x 三次积分，则 I= 。 4、设 ),( yxf 为连续函数，则 I Dt dyxft ),(1lim 20，其中 222: tyxD 。 5、 L dsyx )( 22，其中 222: ayx

15、L 。 6、设 是一空间有界区域，其边界曲面 是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数 ),( zyxP ，),( zyxQ ， ),( zyxR 在 上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程 9696 2 xxyyy 的特解可设为 *y 。 8、若级数 11)1(n pnn发散，则 p 。 二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 1、设 ),( bafx 存在，则 x bxafbaxfx ),(),(lim 0 =（ ） （ A） ),( bafx ；（ B） 0；（ C） 2 ),( bafx ；（ D） 21 ),( b

16、afx 。 2、设 2yxz ，结论正确的是（ ） （ A） 022 xy zyx z； （ B） 022 xy zyx z； （ C） 022 xy zyx z； （ D） 022 xy zyx z。 3、若 ),( yxf 为关于 x 的奇函数，积分域 D 关于 y 轴对称，对称部分记为 21,DD ， ),( yxf 在 D 上连续，则第 8 页 共 15 页 8 / 15 D dyxf ),( （ ） （ A） 0；（ B） 21),(D dyxf ；（ C） 41),(D dyxf ； (D)22),(D dyxf 。 4、设 ： 2222 Rzyx ，则 dxdydzyx )(22

17、=（ ） （ A） 538R ； （ B） 534R ； （ C） 5158 R ； （ D） 51516R 。 5、设在 xoy 面内有一分布着质量的曲线 L，在点 ),( yx 处的线密度为 ),( yx ，则曲线弧 的重心的 x 坐标 x为（ ） （） x = L dsyxxM ),(1 ； （ B） x = L dxyxxM ),(1 ； （ C） x =L dsyxx ),(； （ D） x = L xdsM1, 其中 M 为曲线弧 的质量。 、设 为柱面 122 yx 和 1,0,0 zyx 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分 y d x d zxx zd y d zzd x

18、 d yy 22 （ ） （ A） 0； （ B） 4 ； （ C） 245 ； （ D） 4 。 、方程 )(2 xfyy 的特解可 设为（ ） （ A） A ，若 1)( xf ； （ B） xAe ，若 xexf )( ； （ C） EDxCxBxAx 234 ，若 xxxf 2)( 2 ； （ D） )5c o s5s in( xBxAx ，若 xxf 5sin( 。 、设 xxxf 01 0,1)(，则它 的 Fourier 展开式中的 na 等于（ ） （ A） )1(12 nn ； （ B） 0； （ C） n1 ； （ D） n4 。 三、（分）设 ttxfy ),( 为由方程

19、 0),( tyxF 确定的 yx, 的函数，其中 Ff, 具有一 阶连续偏导数，求 dxdy 。 四、（分）在椭圆 44 22 yx 上求一点，使其到直线 0632 yx 的距离最短。 五、（分）求圆柱面 yyx 222 被锥面 22 yxz 和平面 0z 割下部分的面积。 六、（分）计算 xyzdxdyI，其中 为球面 1222 zyx 的 0,0 yx 部分 第 9 页 共 15 页 9 / 15 的外侧。 七、（ 10 分）设 xxd xdf 2s in1)(c o s )(c o s ，求 )(xf 。 八、（ 10 分）将函数 )1ln ()( 32 xxxxf 展开成 x 的幂级

20、数。 第 10 页 共 15 页 10 / 15 高等数学（下册） 考试试卷（一）参考答案 一、 1、当 10 a 时， 10 22 yx ；当 1a 时， 122 yx ； 2、负号； 3、23;110 D yee y dxdyd； 4、 dttt )()( 22 ； 5、 180 ； 6、 Cxxysin ； 7、 xx eCeCxCxCy 242321 2s in2c o s ； 8、 1； 二、 1、 D； 2、 D； 3、 C； 4、 B； 5、 D； 6、 B； 7、 A； 8、 C； 三、 1、21 fyfxu ； )( xyxgxyu ； 2、 )()( txftxfxu ；

21、)()( txftxftu ； 四、 1、 )1(21 42020 0220222 edyyedxedydyedx yy yx y； 2、 2020212022132 23 3142r dzrdrddzrdrdI 柱面坐标 ； 五、令2222 , yx xQyx yP 则xQyx xyyP 22222)(， )0,0(),( yx ； 于是 当 L 所围成的区域 D 中不含 O（ 0， 0）时，xQyP ,在 D 内连续。所以由 Green 公式得： I=0； 当 L所围成的区域 D 中含 O（ 0， 0）时，xQyP ,在 D 内除 O（ 0， 0）外都连续，此时作曲线 l 为)10(222 yx ，逆时针方向 ，并假设 *D 为 L 及 l 所围成区域，则 2)(222* yxDllLllLd x d yyPxQG r e e nI 公式 六、由所给条件易得： 0)0()0(1 )0(2)0( 2 ffff