1、1和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式 (和差 ) 2=较小数 较小数差 =较大数 和较小数 =较大数 (和差 ) 2=较大数 较大数差 =较小数 和较大数 =较小数 和 (倍数 1)=小数 小数倍数 =大数 和小数 =大数 差 (倍数 -1)=小数 小数倍数 =大数 小数差 =大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2年龄问题的三个基本特征： 两个人的年龄差是不变的； 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； 两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3归一问题的基本特点： 问题中有
2、一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直 线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数 =段数 1 棵距段数 =总长棵数 =段数 1 棵距段数 =总长棵数 =段数 棵距段数 =总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： 假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样
3、）： 假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； 每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； 再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： 把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数） 把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组 数或对象的总量 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这
4、个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量 基本题型： 一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差 当两次都有余数； 基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差 当两次都不足； 基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题： 确定对象总量和总的组数。 7牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“ 1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公
5、式： 生长量 =（较长时间长时间牛头数 -较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）； 总草量 =较长时间长时间牛头数 -较长时间生长量； 8周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题：确定循环周期。 闰年：一年有 366 天； 年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除； 平年：一年有 365 天。 年份不能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除； 9平均数 基本公式：平均数 =总数量总份数 总数量 =平均数总份数 总份数 =总数量平均数 平均
6、数 =基准数每一个数 与基准数差的和总份数 基本算法： 求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算 . 基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。 10抽屉原理 抽屉原则一：如果把（ n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里， 也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： 4=4+0+0 4=3+1+0 4
7、=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。 抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有： k=n/m+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。 k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。 理解知识点： X表示不超过 X 的最大整数。 例 4.351=4； 0.321=0； 2.9999=2； 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。 11定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号
8、，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 12数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示； 项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示； 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示； 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an
9、 表示； 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示 基本思路：等差数列中涉及五个量： a1， an， d， n， sn，通项公式中涉 及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。 基本公式：通项公式： an=a1+（ n 1） d； 通项首项（项数一 1)公差； 数列和公式： sn， =(a1+an)n2； 数列和（首项末项）项数 2； 项数公式： n=(an+a1)d 1； 项数 =（末项 -首项）公差 1； 公差公式： d=（ an a1）（ n 1）； 公差 =（末项首项）（项数 1）； 关键问题：确定已知量和未知量，确
10、定使用的公式； 13二进制及其应用 十进制：用 0 9 十个数字表示，逢 10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2表示 20，百位上的 2表示 200。所以 234=200+30+4=2102+310+4。 =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+ +A3102+A2101+A1100 注意： N0=； N =N（其中 N 是任意自然数） 二进制：用 0 1 两个数字表示，逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。 （ 2） =An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4
11、+An-42n-5+An-62n-7 + +A322+A221+A120 注意： An 不是 0 就是 1。 十进制化成二进制： 根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。 先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。 14加法乘法原理和几何计数 加法原理： 如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：
12、 m1+m2.+mn 种不同的方法。 关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有： m1 m2. mn 种不同的方 法。 关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点
13、，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点；没有长度。 数线段规律：总数 1+2+3+ +（点数一 1）； 数角规律 =1+2+3+ +（射线数一 1）； 数长方形规律：个数 =长的线段数宽的线段数： 数长方形规律：个数 =1 1+2 2+3 3+ +行数列数 15质数与合数 质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因
14、数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式： N=，其中 a1、 a2、 a3 an 都是合数 N 的质因数，且 a1a2a3an。 求约数个数的公式： P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。/a2a3an。 16约数与倍数 约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质： 1、几个数都除以它们 的最大公约数，所得的几个商是互质数。 2、几个
15、数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4、几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。 例如： 12 的约数有 1、 2、 3、 4、 6、 12； 18 的约数有： 1、 2、 3、 6、 9、 18； 那么 12 和 18 的公约数有： 1、 2、 3、 6； 那么 12 和 18 最大的公约数是： 6，记作（ 12， 18） =6； 求最大公约数基本方法： 1、分解质因数法：先分 解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，
16、能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 12 的倍数有： 12、 24、 36、 48； 18 的倍数有： 18、 36、 54、 72； 那么 12 和 18 的公倍数有： 36、 72、 108； 那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作 12， 18=36； 最小公倍数的性质： 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法： 1、短除法求最小公倍数； 2、分解质因数的方法 17数的整除 一、基本概念和
17、符号： 1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。 2、常用符号：整除符号“ |”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”； 二、整除判断方法 ： 1.能被 2、 5 整除：末位上的数字能被 2、 5 整除。 2.能被 4、 25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、 25 整除。 3.能被 8、 125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、 125 整除。 4.能被 3、 9 整除：各个数位上数字的和能被 3、 9 整除。 5.能被 7 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前
18、的数字所组成数之差能被 7 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。 6.能被 11 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数 之差能被 11 整除。 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。 7.能被 13 整除： 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。 三、整除的性质： 1.如果 a、 b 能被 c 整除，那么（ a+b）与（ a-b）也能被 c 整除。 2.如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。 3.如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。 4.如果 a 能被 b、 c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。 18余数及其应用 基本概念：对任意自然数 a、 b、 q、 r，如果使得 a b=q r，且 0rb，那么 r 叫做 a 除以 b 的余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。
