高考排列组合典型例题.doc

1、 排列组合 典型例题 例 1 用 0 到 9 这 10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析： 这一问题的限制条件是：没有重复数字；数字“ 0”不能排在千位数上；个位数字只能是 0、 2、 4、 6、 8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“ 0”的四位偶做，个位数是 2、 4、 6、 8 的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）由此解法一与二 如果从千位数入手四位偶数可分为：千位数是 1、 3、 5、 7、 9 和千位数是 2、 4、 6、8 两类，由此得解法三 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法

2、四 解法 1：当个位数上排“ 0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 3个来排列，故有 39A 个； 当个位上在“ 2、 4、 6、 8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 281814 AAA （个） 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 AAAA 个 解法 2： 当个位数上排“ 0”时，同解一有 39A 个；当个位数上排 2、 4、 6、 8 中之一时，千位，百位，十位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是“ 0”排列数得：)( 283914 AAA

3、 个 没有重复数字的四位偶数有 2 2 9 61 7 9 2504)( 28391439 AAAA 个 解法 3： 千位数上从 1、 3、 5、 7、 9 中任选一个，个位数上从 0、 2、 4、 6、 8 中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字 中任选两个作排列有 281515 AAA 个 干位上从 2、 4、 6、 8 中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括 0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 281414 AAA 个 没有重复数字的四位偶数有 2296281414281515 AAAAAA 个 解法 4： 将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位

4、奇数和四位偶数 没有重复数字的四位数有 39410 AA 个 其中四位奇数有 )( 283915 AAA 个 没有重复数字的四位偶数有 2839393928391539410 5510)( AAAAAAAAA 2839 54 AA 2828 536 AA 2841A 2296 个 说明： 这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用 典型例题二 例 2 三个女生和五个男 生排成一排 （ 1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （ 2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （ 3）如果两端都不能排女

5、生，可有多少种不同的排法？ （ 4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 解： （ 1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 66A 种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 33A 对种不同的排法，因此共有 43203366 AA 种不同的排法 （ 2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有 4 个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生

6、排成一排有 55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 36A 种方法，因此共有 144003655 AA 种不同的排法 （ 3）解法 1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2个，有 25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 66A 种排法，所以共有144006625 AA 种不同的排法 解法 2：（间接法） 3 个女生和 5 个男生排成一排共有 88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 7713 AA 种排法和女生排在末位的 7713 AA 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的

7、情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 6623AA 种不同的排法，所以共有1 4 4 0 02 6623771388 AAAAA 种不同的排法 解法 3：（元素分析法）从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入，有 36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余 5 个位置又都有 55A 种不同的排法，所以共有144005536 AA 种不同的排法， （ 4）解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 7715 AA 种不同的排法；如果首位排女生，有 13A 种排法，这

8、时末位就只能排男生，有 15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余 6 位都有 66A 种不同的排法，这样可有 661513 AAA 种不同排法因此共有 3 6 0 0 06615137715 AAAAA 种不同的排法 解法 2： 3 个女生和 5 个男生排成一排有 88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法 6623 AA种，就能得到两端不都是女生的排法种数 因此共有 36000662388 AAA 种不同的 排法 说明： 解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法 若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，

9、再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件 若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素 间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用 典型例题三 例 3 排 一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。 （ 1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （ 2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 解： （ 1）先排歌唱节目有 55A 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子，从中选 4 个放入舞蹈节目，共有 46A 中方法，所以任两个舞蹈节

10、目不相邻排法有： 55A 46A 43200. （ 2） 先排舞蹈节目有 44A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有： 44A 55A 2880 种方法。 说明： 对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（ 2）中，若先排歌唱节目有 55A ，再排舞蹈节目有 46A ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。 典型例题四 例 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育

11、、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法 分析与解法 1： 6 六门课总的排法是 66A ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有 55A 种排法，如图中；数学排在最后一节有 55A种排法，如图中；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中，这种情况有 44A 种排法，因此符合条件的排法应是： 5 0 42 445566 AAA （种） 分析与解法 2： 根据要求，课程表安排可分为 4 种情况： （ 1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 4424 AA 种； （ 2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法

12、 4414 AA 种； （ 3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 4414 AA 种； （ 4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法 44A 这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有： 5 0 4441444144424 AAAAAA （种） 分析与解法 3： 根据要求，课表安排还可分下述 4 种情况： （ 1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 1224 A 种排法； （ 2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有 4 种排法； （ 3）体育在最后一书，数学木在第一节有 4 种排法； （ 4）数学在第一节，体育在最后一节有 1 种排法 上述 21 种排法确定以后，仅剩余

13、下四门课程排法是种 44A ，故总排法数为 50421 44 A（种） 下面再提出一个问题，请予解答 问题：有 6 个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法 请读者完成此题 说明： 解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法 典型例题五 例 5 现有 3 辆公交车、 3 位司机和 3 位售票员，每辆车上需配 1位司机和 1位售票员问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 分析： 可以 把 3 辆车看成排了顺序的三个空： ，然后把 3 名司机和 3 名售票员分别填入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题 解

14、： 分两步完成第一步，把 3 名司机安排到 3 辆车中，有 633A 种安排方法；第二步把 3 名售票员安排到 3 辆车中，有 633A 种安排方法故搭配方案共有 363333 AA 种 说明： 许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决在分类或分步时，要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱 典型例题六 例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表如果有 4 所重点院校，每所院校有 3 个专业是你较为满意的选择若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法

15、？ 学 校 专 业 1 1 2 2 1 2 3 1 2 分析： 填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业因此这是一个排列问题 解： 填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在 4 所学校中选出 3 所并加排列，共有 34A 种不同的排法；第二步，从每所院校的 3 个专业中选出 2 个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有 232323 AAA 种综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有： 5 1 8 423232334 AAAA 种 说明： 要完成的事件与元素 的排列顺序是否有关，有

16、时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要“选而且排”（元素之间有顺序要求）的是排列，“选而不排”（元素之间无顺序要求）的是组合另外，较复杂的事件应分解开考虑 典型例题七 例 5 7 名同学排队照相 (1)若分成两排照，前排 3 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？ (2)若排成两排照，前排 3 人，后排 4 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照， 7 人中有 4 名男生， 3 名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 分析： (1)可

17、分两步完成：第一步，从 7 人中 选出 3 人排在前排，有 37A 种排法；第二步，剩下的 4 人排在后排，有 44A 种排法，故一共有 774437 AAA 种排法事实上排两排与排成一排一样，只不过把第 74 个位子看成第二排而已，排法总数都是 77A ，相当于 7 个人的全排列 (2)优先安排甲、乙 (3)用“捆绑法” (4)用“插空法” 解： (1) 5040774437 AAA 种 (2)第一步安排甲，有 13A 种排法；第二步安排乙，有 14A 种排法；第三步余下的 5 人排在剩下的 5 个位置上，有 55A 种排法，由分步计数原理得，符合要求的 排法共有1440551413 AAA

18、 种 (3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余 4 个元素排成一排，即看成 5 个元素的全排列问题，有 55A 种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有 33A 种排法由分步计数原理得，共有 7203355 AA 种排法 (4)第一步， 4 名男生全排列，有 44A 种排法；第二步，女生插空，即将 3 名女生插入 4 名男生之间的 5 个空位，这样可保证女生不相邻，易知有 35A 种插入方法由分步计数原理得，符合条件的排法共有： 14403544 AA 种 说明： (1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑 ”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将

19、这些特殊元素进行全排列 (2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间 典型例题八 例 8 从 65432 、 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和 分析： 可以从每个数字出现的次数来分析，例如“ 2 ”，当它位于个位时，即形如的数共有 24A 个（从 6543 、 四个数中选两个填入前面的两个空），当这些数相加时，由“ 2 ”所产生的和是 224A 当 2 位于十位时，即形如 的数也有 24A ，那么当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和应是 10224 A 当 2 位于面位时，可同理分析然后再依次分析 65

20、43 、的情况 解： 形如 的数共有 24A 个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和是 224A ；形如的数也有 24A 个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和是 10224 A ；形如 的数也有 24A个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和应是 100224 A 这样在所有三位数的和中，由“ 2 ”产生的和是 111224 A 同理由 6543 、 产生的和分别是 111324 A ， 111424 A ，111524 A ， 111624 A ，因此所有三位数的和是 2 6 6 4 0)65432(1 1 124 A 说明： 类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办

21、法来解决如“由 x,5,4,1 四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和为 28 ，求数 x ”本题的特殊性在于，由于是全排列，每个数字都要选用，故每个数字均出现了 2444 A 次，故有 288)541(24 x，得 2x 典型例题九 例 9 计算下列各题： (1) 215A ； (2) 66A ； (3) 1111 nnmn mnmnA AA； (4) !33!22!1 nn (5) !1!43!32!21 nn 解： (1) 2101415215 A ； (2) 7 2 0123456!666 A ; (3)原式!)1( 1!)(!)1(1 !)1( nmn

22、mn n1!)1( 1!)(!)( !)1( nmnmnn ； (4)原式 !)1()!3!4()!2!3()1!2( nn 1!)1( n ； (5)!1!)1( 1! 1 nnnn ， !1!43!32!21 nn !11!1!)1( 1!41!31!31!21!21!11 nnn 说明： 准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键 本题计算中灵活地用到下列各式： !)1(! nnn ； !)1(! nnnn ； !1!)1( 1! 1 nnnn ；使问题解得简单、快捷 典型例题十 例 10 fedcba , 六人排一列纵队，限定 a 要排在 b 的前面（ a 与 b 可以相邻，也可以不相邻）

23、，求共有几种排法对这个题目， A 、 B 、 C 、 D 四位同学各自给出了一种算式： A 的算式是 6621A； B 的算式是 441514131211 )( AAAAAA ； C 的算式是 46A ； D 的算式是 4426 AC 上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由 解： A 中很显然，“ a 在 b 前的六人纵队” 的排队数目与“ b 在 a 前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和这表明： A 的算式正确 B 中把六人排队这件事划分为 a 占位， b 占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到 a 占位的状况决定了 b

24、占位的方法数，第一阶段，当 a 占据第一个位置时， b 占位方法数是 15A ；当 a 占据第 2 个位置时， b 占位的方法数是 14A ；当 a 占据第 5 个位置时， b 占位的方法数是 11A ，当 a ， b 占位后，再排其他四人，他们有 44A 种排法，可见 B 的算式是正确的 C 中 46A 可理解为从 6 个位置中选 4 个位置让 fedc , 占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是 ba, 的因此 C 的算式也正确 D 中把 6 个位置先圈定两个位置的方法数 26C ，这两个位置让 ba, 占据，显然， ba, 占据这两个圈定的位置的方法只有一种（ a 要在 b 的前面），

25、这时，再排其余四人，又有 44A 种排法，可见 D 的算式是对的 说明： 下一节组合学完后，可回过头来学习 D 的解法 典型例题十一 例 11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 解法 1： 可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况应当使用加法 原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法： 6 4 08551424551224 AAAAAA (种 ) 解法 2： 采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法把“甲坐

26、在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是 7714 AA 在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法”这个数目是 5514131214 AAACA 其中第一个因数14A 表示甲坐在第一排的方法数， 12C 表示从乙、丙中任选出一人的办法数， 13A 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个 14A 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数， 55A 就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为 6 4 0855141312147714 AAACAAA (种 ) 说明： 解法 2 可在学完组合后回过头来学习 典型例题十二 例 12 计划在某画廊展出 1

27、0 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（ ） A 5544 AA B 554433 AAA C 554413 AAC D 554422 AAA 解： 将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有 22A 种排列但 4幅油画、 5 幅 国画本身还有排列顺序要求所以共有 554422 AAA 种陈列方式 应选 D 说明： 关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“

28、捆绑”的若干元素，内部进行全排列本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题 典型例题十三 例 13 由数字 5,4,3,2,1,0 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ） A 210 B 300 C 464 D 600 解法 1： （直接法）：分别用 5,4,3,2,1 作十万位的排列数，共有 555A 种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有 300521 55 A个 解法 2： （间接法）：取 5,1,0 个数字排列有 66A ，而 0 作为十万位的排列有 55A ，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有 300)(21 5566 AA(个 ) 应

29、选 B 说明： (1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解 (2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有 6 个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法 典型例题十四 例 14 用 5,4,3,2,1 ，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A 24 个 B 30 个 C 40 个 D 60 个 分析： 本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断 解法 1： 分类计算 将符合条件的偶数分为两类一类是 2 作个位数，共有 24A 个，另一类是 4 作个位数，也有 24A 个因此符合条件的偶数共有 242424 AA 个 解法 2： 分步计算 先排个位数字，有 12A 种排法，再排十位和百位数字，有 24A 种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有 242412 AA 个 解法 3： 按概率算 用 51 这 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 6035A 个，其中偶点其中的52 因此三位偶数共有 245260 个 解法 4： 利用选择项判断