1、 1 第一题： 证明角平分 已知 PE 、 PF 是 O的切线， A 、 B 是一组对径点， PB 交 O于另一点 C ，直线 AF 、BE 交于 D 点。 求证： PCEPCD 。 第二题： 证明四点共圆 如图， AB 是 O的直径， C ,D 是圆上异于 A 、 B ,且在 AB 同侧的两点，分别过 C 、D 作 的 O切线，它们交于点 E ,线段 AD 与 BC的交点为 F , 线段 AB 与 EF 的交点为 M ,求证： E 、 C 、 M 、 D 四点共圆 。 第三题： 证明角的倍数关系 如图， PE 、 PF 是以 AB 为直径圆的切线 E 、 F 是切点 ， PB 交圆于 C 点
2、， AF 、 BE交于 D 点 ， AB 是直径 。 求证： ACDDPE 2 。 第四题： 证 明线与圆 相切 已知： ABC 中， 90A ， AD 切 ABC ， AD 交 BC延长线于 D ， E 是 A 关于 BC的对称点， BEAY 于 Y ， X 是 AY 中点，延长 BX 交 ABC 于 J ， 求证： BD 切 AJD外接圆 第五题： 证明垂直 已知四边形 ABCD 内接于以 BD 为直径的圆，设 A 为 A 关于 BD 为对称点， B 是 B 关于 AC 对称点，直线 AC 交 DB 于 Q， 直线 DB 交 CA 于 P 。 求证： ACPQ 。 第六题： 证明线段相等
3、已知： BC、 BD 是 O切线， C 、 D 是切点， BJA 是割线， A 、 J 在圆上 ， J 离 B 较近， AODE 于 E ， 交 AB 于 F ， AC 交 DE 于 G ， 求证： FGDF 。 第七题： 证明线段为比例中项 已知 ABC 中， BCAC ， M 是 AB 的中点， FG经过点 M ，且 CFG 与 ABC 有相2 同的内心 。 求证： GMFMAM 2 。 第八题： 证明垂直 已知： ABC 为非直角三角形， AD 平分 BAC ， D 在 BC上 ， ACDF 于 F ， ABDE于 E ， CE交 BF 于 P 。 求证： BCAP 。 第九题： 证明线
4、段相等 过圆 O外一点 P 作圆 O的两条切线 PC、 PD ，切点分别为 C 、 D ，过劣弧 CD上一点 E 作圆 O的另一条切线分别交 PC、 PD 于 A 、 B ，连结 OE交 CD于点 N ，连结 PN交 AB 于点 M 。 求证： MBMA 。 第十题： 证明角平分 已知 PA 、 PB 是 O切线， DE 是过 C 的切线， D 、 E 分别在 AP 、 PB 上， ABCF于 F ， 连接 DF 、 EF 。 求证： EFCDFC 第十一题： 证明垂直 设 PAB 是圆 O的割线， PC是切线， CD是圆 O的直径， DB 、 OP相交于 E 。求证：CEAC 。 第十二题：
5、 证明线段相等 设 C 、 D 是以 O为圆心 AB 为直径的半圆上两点，过 B 做圆 O 的切线交 CD于 P ，直线 PO交直线 CA、 AD 分别于 E 、 F 。 求证 : OFOE 。 第十三题： 证明角相等 如图， ABC 中， D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点，且 BCDE/ ， BE 、 CD交于点 F ，BDF 的外接圆 O，与 CEF 的外接圆 P 交于点 G ，求证： CAGBAF 。 第十四题： 证明中点 如图， O、 P 交于 A 、 B 两点， BO、 PA 延长线交于点 C ， CD、 CE分别切3 O、 P 于 D 、 E ，连接 DE 交 AB 于
6、F ，求证： F 为 DE 中点 。 第十五题： 证明线段的二次等式 如图，半径不相等的两圆 O、 P 交于 A 、 B 两点，过 A 的直线 CD分别交 O 、 P 于 C 、 D ， CB延长线交 P 于 F ， DB 延长线交 O于 E ，过 A 作 CD垂线交 EF中垂线于 G ，求证： ADACEGAG 22 第十六题： 证明角平分 如图， ABC 内接于 O， D 为 BC中点， AD 交 O于 E ，过 E 作 BCEF/ ，交 O于 F ，过 C 作 ACCG ，交 AE 于 G 。求证： FGCAGC 。 第十七题： 证明中点 如图， ABC 内切圆 I 切 BC于 D ，过
7、 I 作 ADIE/ 交 BC于 E ， 过 E 作 I 切线，分别交 AB 、 AC 于 F 、 G 。求证： E 为 FG中点。 第十八题： 证明角相等 如图， 如图， P 、 Q交于 A 、 B 两点，它们的外公切线 CD分别切 P 、 Q于 C 、 D ， E 为 BA 延长线上一点， EC交 P 于 F ， ED 交 Q于 G ， AH 平分 FAG交 FG于 H 。求证： GDHFCH 。 第十九题： 证明中点 如图， O为 ABC 外接圆， I 、 E 分别为 ABC 的内心和一个旁心， BAC 的外角平分线交 BC延长线于 D ， DEIF 于 F ，交 O于 G 。求证： G
8、 为 IF 中点。 第二十题： 证明线段相等 如图， 在锐角 ABC 中， CB ， F 是 BC 的中点， BE 、 CD是高。 G 、 H 分别是 FD 、 FE 的中点，若过 A 且平行于 BC的直线交 GH 于 I 。求证： IFIA 第二十一题： 证明垂直 4 如图， D 是 ABC 边 BC上一点， ABDDAC ， O 过点 B 、 D 分别交 AB 、 AD 于E 、 F ，直线 BF 交 DE 于 G ， M 是 AG 中点。求证： AOCM 。 第二十二题： 证明角相等 如图， 如图， CD为 O直径， PC、 PE 分别切 O于 C 、 E ，割线 PBA 交 O于 A
9、、B ， AC 、 BD 交于点 F ， DE 交 AB 于 G ，求证： ADEGFE 。 第二十三题： 证明四点共圆 如图， O为 ABC 外心， D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点， DEOF 于 F ， L 、 M 、 N分别为 DE 、 BE 、 CD中点。求证： F 、 L 、 M 、 N 四点共圆。 第二十四题： 证明两圆相切 如图， ABC 内切圆 I 切 BC于 D ， BCAE 于 E ， F 为 AE 中点， DF 交 I 于 G ，作 BCG 的外接圆 O，求证： O、 I 相切于点 G 。 第二十五题： 证明线段相等 如图， ABC 内接于 O，内切圆 I 分
10、别切 AB 、 AC 于 J 、 K ， AO 交 O于 D ，连接 DI ，延长 CA到 F ，使得 BJAF ，过 F 作 DI 的垂线交 BA 延长线于 G ，求证：CKAG 。 第二十六题： 证明四条线段相等 如图， O为 ABC 外接圆， AD 平分 BAC 交 O于 D ， BDOE/ 交 AB 于 E ， CDOF/交 AC 于 F ， H 为 ABC 垂心， ADHG/ 交 BC于 G ，求证： CFGFGEBE 。 第二十七题： 证明线段比例等式 如图， 四边形 ABCD 中， ACAB ， ABD 外接圆 1O 交 AC 于 F ， ACD 外接圆 2O交 AB 于 E ，
11、 BF 、 CE交于点 G ，求证： CDBDCGBG 。 第二十八题： 证明角的倍数关系 5 如图， O为 ABC 外心， D 为 ABC 内一点，使得 DCBDAB ， DCBDAC ， E为 AD 中点，过 E 作 ADEF 交 CB 延长线于 F ，连接 FA 、 FD 、 FO ，求证：OFCAFD 2 。 第二十九题： 证明三线共点 如图， O的内接四边形 ABCD ， AB 、 DC 交于点 E ， AD 、 BC交于点 F ， EFC的外接圆 P 交 O于 G ， AG 交 EF 于 H ， HC 交 O于 I ，求证 AI 、 GC、 FE 三线共点。 第三十题： 证明平行
12、如图， ABC 中， D 为 BC中点， O为外心， H 为垂心， E 、 F 分别为 AB 、 AC 上一点，使得 AFAE ，且 D 、 H 、 E 三点共线， P 为 AEF 外心，求证： HDOP/ 。 第三十一题： 证明线段相等 如图 ， 四边形 ABCD 内接于 O， E 为四边形内一点，使得 ECOEAB ，EDCEBA ，过点 E 的直线 FG平分 BEC ，交 O于 F 、 G 两点，求证： EGEF 。 第三十二题： 证明四点共圆 如图， 在 ABC 中， AD 、 BE 、 CF 是三条高线，点 P 为 ABC 内部一点， P 关于 BC、CA、 AB 的对称点分别为 L
13、 、 M 、 N ，线段 AP 的中点为 G ，求证： D 、 E 、 G 、F 四点共圆的充要条件为 A 、 M 、 L 、 N 四点共圆。 第三十三题： 证明三角形相似 如图， 1O 、 2O 半径分别为 1r 、 2r ， 1O 、 2O 交于 A 、 B 两点， P 为平面上一点， PC切 1O 于 C ， PD 切 2O 于 D ，且 21rrPDPC ，求证： PCA PBD 。 第三十四题： 证明角相等 如图， 平行四边形 ABCD 中， E 为 BD 上一点，使得 ACDECB ， AC 交 ABD 外6 接圆 O于 F ，连接 EF ，求证： AFDBFE 。 第三十五题：
14、证明内心 如图， I 是 ABC 内心， E 为 BC中点， F 为弧 BC中点， EF 中点为 N ， BI 中点为 M ，MN交 BC于 D ，连接 AD ，求证： M 为 ABD 内心。 第三十六题： 证明角平分 如图， O为 ABC 的外接圆， AF 平分 BAC 交 O于 F ， H 为 ABC 的垂心，ABCE 于 E ， ACBD 于 D ， ADE 的外接圆 P 交 O于 G 。 GF 交 BC于 I ， 求证： IH 平分 BHC 。 第三十七题： 证明 垂直 在 ABC 中， O为外心，三条高 AD 、 BE 、 CF 交于点 H ，直线 ED 和 AB 交于点 M ，直线
15、 FD 和 AC 交于点 N ，求证：（ 1） DFOB ；（ 2） DEOC ；（ 3） MNOH 。 第三十八题： 证明 面积等式 如图， ABC 和 ADE 均为等腰直角三角形， 90AEDBAC ，连接 BD 、 CE，取 CE的中点 F ，连接 DF 、 BF ，求证： BDFS = A C EA D EA B C SSS 321 。 三十九题： 证明角平分 如图， ABC 中，旁切圆 P 分别切 CB、 CA延长线于 D 、 E ，旁切圆 Q 分别切BC、 BA 延长线于 F 、 G ， DE 、 FG分别交 PQ于 M 、 N ， BN 、 CM 交于点 L 求证： AL 平分
16、BAC 。 第四十题： 证明角相等 如图， 平行四边形 ABCD 中， E 、 F 分别为 AD 、 CD上一点， AF 、 CE交于点 G ，AEG 的外接圆 O 与 CFG 的外接圆 P 交于点 H ，连接 BG 、 DH ，求证：HDAGBA 。 7 第四十一题： 证明中点 如图， PA 、 PB 分别切 O于 A 、 B ， PCD 为 O一条割线，过 C 作 PBCF/ ，交 AB于 E ，交 BD 于 F ，求证： E 为 CF中点。 第四十二题： 证明中点 如图， H 为 ABC 垂心， D 为 BC中点，过 H 作 DHEF 分别交 AB 、 AC 于 E 、 F ，求证： H
17、 为 EF 中点。 第四十三题： 证明角相等 如图， 锐角 ABC 中， ACAB ，且 D 、 E 在边 BC上，满足 CEBD ，若在 ABC 内存在点 P 满足 AEPD/ ，且 EACPAB ，求证： PCAPBA 。 第四十四题： 证明垂直 如图， AB 为半 圆 O的直径， ABOC ， C 在圆上， P 是 BA 延长线上一点， PD 切 O于 D ， PE 平分 DPB ，分别交 AC 、 BC于 E 、 F ，求证： 90EOF 。 第四十五题： 证明角相等 如图， PA 为 O的切线， PBC为 O的割线， OPAD 于点 D ， ADC 的外接圆与 BC的另一个交点为 E
18、 ，求证： ACBBAE 。 第四十六题： 证明垂直 如图， 平行四边形 ABCD 中， ABCE 于 E ， ADCF 于 F ， EF 交 BD 于 G ，求证：ACGC 。 第四十七题： 证明四点共圆 如图， ABC 内接于 O， BCAD 于 D ， AD 交 CO于 E ， F 为 AE 中点， FO交 BC于 H ， AOCG 于 G ，求证： B 、 H 、 O、 G 四点共圆 。 第四十八题： 证明四点共圆 8 如图， I 是 ABC 内心， A 关于 BI 的对称点是 K ， E 为 BC中点， F 为 BC中点 EF 中点为 N ， BI 中点为 M ， MN交 BC于 D
19、 ，求证： A 、 K 、 D 、 M 四点共圆。 第四十九题： 证明四点共圆 如图， H 为 ABC 的垂心， D 为 CH 中点， ADBE 于 E ，证明： B 、 C 、 E 、 H 四点共圆。 第五十题： 证明角平分 已知 ABC ，内心为 I ，圆 1O 与边 AB 、 BC相切，圆 2O 过 A 、 C ，且 1O 、 2O 外切与点 M 。求证： AMC 的平分线过点 I 。 第五十一题： 证明线段相等 如图， O为 ABC 外接圆， D 为弧 BAC 中点， E 为弧 BC中点， ABCF 于 F ，连接 EF ，过 F 作 EFFG 交 DA 延长线于 G ，求证： CDC
20、G 。 第五十二题： 证明两圆外 切 如图， 如图， A 、 B 、 C 为 O上三点，过 C 作 ACDC 交 AB 延长线于 D ，过 D 作AODE 交 O于 F ，交 AC 于 E ，过 B 、 E 、 F 三点的圆为 P ，过 C 、 D 、 F 三点的圆为 Q，求证： P 与 Q外切于点 F 。 第五十三题： 证明垂直 如图， 如图， ABC 中， D 、 E 、 F 分别为 BC、 CA、 AB 中点，过 E 作 ACEM 交AD 于 M ，过 F 作 ABFN 交 AD 于 N ， EM 、 FN 交于点 O， CM 、 BN 交于点 K ，求证： AKOK 。 第五十四题：
21、证明垂直 如图， ABC 中， D 为 BC中点， O过 A 、 C 两点，且切 DA 于 A ，延长 BA 交 O于 E ， CE延长线交 DA 于 F ，求证： BCFO 。 9 第五十五题： 证明垂直 如图， AB 为 O直径， CB切 O于 B ， D 为弧 AB 上任一点， CD交 O于 F ， AD 、OC交于点 E ，连接 EB 、 FB ，证明： FBEB 。 第五十六题： 证 明垂直 如图， 正方形 ABCD 与正方莆 EFGH ， EF 交 AB 于 J ， FG 交 BC于 K ， GH 交 CD于L ， HE 交 DA 于 I ，求证： JLIK 。 第五十七题： 证中
22、点 如图， PA 、 PB 分别切 O于 A 、 B 两点， C 为劣弧 AB 上一点， OC交 AB 于 D ，过 C 点的切线分别交 PA 、 PB 于 E 、 F ， PD 交 EF 于 G ，求证： G 为 EF 中点。 第五十八题： 证明角相等 如图， P 、 Q 交于 A 、 B 两点，它们的外公切线 CD分别切 P 、 Q 于 C 、 D ，E 为 BA 延长线上一点， EC交 P 于 F ， ED 交 Q于 G ， FG 分别交 Q 、 P 于M 、 N ，求证： GDNFCM 。 第五十九题： 证明角相等 如图， 等腰 ABC 中， ACAB ， E 为 AC 中点， D 为
23、 BC上一点，使得 CDBD 2 ，BEDF 于 F ，连结 CF，求证： ABCEFC 。 第六十题： 证明四点共圆 如图， ABC 中， D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点，且 BCDE/ ， BE 、 CD交于点 F ，O、 P 、 Q、 R 分别为 ADF 、 AEF 、 BDF 、 CEF 外心，求证： O、 P 、 Q 、 R四点共圆。 第六十一题： 证明四点共圆 如图， ABC 旁切圆 I 分别切 BC、 AB 、 AC 于 D 、 E 、 F ， ED 、 FD 分别交 AI 于10 M 、 N ， G 为 BC中点， H 为 A 在 BC上的垂足，求证： G 、 N
24、、 H 、 M 四点共圆。 第六十二题： 证明四点共圆 如图， 四边形 ABCD 内接于 O， AB 、 DC 交于点 E ， AD 、 BC交于点 F ，点 G 为EF 中点， AG 交 O于 K ，求证： C 、 K 、 F 、 E 四点共圆。 第六十三题： 证明角相等 如图， AB 为半 O直径， ABCA 于 A ， ABDB 于 B ， EC、 ED 分别为半 O 的两条切线， CDOF 于 F ，连接 EF ，求证： FOBEFD 。 第六十四题： 证明角的倍数关系 如图， AB 、 AC 分别切 O于 A 、 B ， D 为 AB 延长线上一点， ADC 的外接圆 P交 O于 E
25、 ， CDBF 于 F ，求证： ADCDEF 2 。 第六十五题： 证明中点 如图，在 O中 ，直径 AB 垂直于弦 CD， E 是 OC的中点， AE 的延长线交 O 于点 F ， DF 交 BC于点 G 。 求证： G 是 BC的中点。 第六十六题： 伪旁切圆 如图， ABC 外接圆为 O，内切圆 I 分别切三边于 D 、 E 、 F ， P 与 O 外切于 J ，且分别切 AB 、 AC 于 G 、 H ，连接 AD 并延长交 P 于 K ，求证： AKAJ ，且 CADBAJ 。 第六十七题： 证明垂直 如图， O为 ABC 外接圆， D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点， H 为 ABC 垂心， DH 延长线交 O于 F ， EH 延长线交 O于 G ， DE 、 GF 交于点 I ，连接 AI ，求证：AOAI 。 第六十八题： 证明平行
